Theorem uzenom 10442

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzenom	|- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
2		eqid 2188	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
3	1, 2	frec2uzf1od 10423	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) )
4		omex 4606	. . . . 5 |- om e. _V
5	4	f1oen 6776	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
7		uzinf.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	6, 7	breqtrrdi 4059	. 2 |- ( M e. ZZ -> om ~~ Z )
9	8	ensymd 6800	1 |- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   |-> cmpt 4078   omcom 4603   -1-1-onto->wf1o 5229   ` cfv 5230  (class class class)co 5890  freccfrec 6408   ~~ cen 6755   1c1 7829   + caddc 7831   ZZcz 9270   ZZ>=cuz 9545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-recs 6323  df-frec 6409  df-er 6552  df-en 6758  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546

This theorem is referenced by: (None)