Theorem uzenom 10783

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzenom	|- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
3	1, 2	frec2uzf1od 10764	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) )
4		omex 4714	. . . . 5 |- om e. _V
5	4	f1oen 6997	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
7		uzinf.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	6, 7	breqtrrdi 4150	. 2 |- ( M e. ZZ -> om ~~ Z )
9	8	ensymd 7022	1 |- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   omcom 4711   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  (class class class)co 6049  freccfrec 6620   ~~ cen 6972   1c1 8124   + caddc 8126   ZZcz 9573   ZZ>=cuz 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-en 6975  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850

This theorem is referenced by: (None)