Theorem uzenom 10647

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzenom	|- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
3	1, 2	frec2uzf1od 10628	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) )
4		omex 4685	. . . . 5 |- om e. _V
5	4	f1oen 6910	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
7		uzinf.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	6, 7	breqtrrdi 4125	. 2 |- ( M e. ZZ -> om ~~ Z )
9	8	ensymd 6935	1 |- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   omcom 4682   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  freccfrec 6536   ~~ cen 6885   1c1 8000   + caddc 8002   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-er 6680  df-en 6888  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by: (None)