ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzenom Unicode version

Theorem uzenom 10091
Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzenom  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )

Proof of Theorem uzenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
2 eqid 2115 . . . . 5  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )
31, 2frec2uzf1od 10072 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
)
4 omex 4467 . . . . 5  |-  om  e.  _V
54f1oen 6607 . . . 4  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  M
) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )  ->  om  ~~  ( ZZ>= `  M ) )
63, 5syl 14 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  om  ~~  ( ZZ>= `  M )
)
7 uzinf.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
86, 7syl6breqr 3935 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  om  ~~  Z )
98ensymd 6631 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3895    |-> cmpt 3949   omcom 4464   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728  freccfrec 6241    ~~ cen 6586   1c1 7548    + caddc 7550   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-recs 6156  df-frec 6242  df-er 6383  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator