Theorem fz0fzdiffz0 9800

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 9797	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2		elfzle1 9700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	2	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
4	3	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5		elfznn0 9787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		elfznn0 9787	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		nn0sub 9024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anr 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
10	4, 9	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
11		elfz3nn0 9788	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elfz2nn0 9785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		elfz2 9690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		zsubcl 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	15	zred 9077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
17	16	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
18	17	3adant2 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
19		zre 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant3 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21		zre 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	18, 20, 22	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
24	23	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26		nn0ge0 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		subge02 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
30	20, 28, 29	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
31	27, 30	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)
32	31	anim1i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
33		letr 7770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
35	34	exp31 359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
38	37	adantl 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
40	14, 39	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	impcom 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
43	42	3adant3 984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
44	13, 43	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45	44	imp 123	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
46	45	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
47	10, 12, 46	3jca 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
48	1, 47	mpancom 416	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
49		elfz2nn0 9785	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
50	48, 49	sylibr 133	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  ℝcr 7546  0cc0 7547   ≤ cle 7725   − cmin 7856  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958  ...cfz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684

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