Theorem fz0fzdiffz0 10365

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10362	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2		elfzle1 10262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5		elfznn0 10349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		elfznn0 10349	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		nn0sub 9546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
11		elfz3nn0 10350	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elfz2nn0 10347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		elfz2 10250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		zsubcl 9520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	15	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
18	17	3adant2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
19		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	18, 20, 22	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26		nn0ge0 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28		nn0re 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		subge02 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
33		letr 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
43	42	3adant3 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45	44	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
46	45	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
47	10, 12, 46	3jca 1203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
48	1, 47	mpancom 422	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
49		elfz2nn0 10347	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
50	48, 49	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032   ≤ cle 8215   − cmin 8350  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv  11275