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Theorem fz0fzdiffz0 9937
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 9934 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2 elfzle1 9837 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
32adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
43adantl 275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀𝐾)
5 elfznn0 9924 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65adantr 274 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7 elfznn0 9924 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 nn0sub 9143 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
96, 7, 8syl2anr 288 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
104, 9mpbid 146 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0)
11 elfz3nn0 9925 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211adantr 274 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 elfz2nn0 9922 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
14 elfz2 9827 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
15 zsubcl 9118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
1615zred 9196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
1716ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
18173adant2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
19 zre 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20193ad2ant3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21 zre 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2318, 20, 223jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26 nn0ge0 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28 nn0re 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
29 subge02 8263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3020, 28, 29syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3127, 30mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀) ≤ 𝐾)
3231anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁))
33 letr 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3425, 32, 33sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
3534exp31 362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3736com14 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938impcom 124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4014, 39sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4140com13 80 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241impcom 124 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
43423adant3 1002 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4413, 43sylbi 120 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4544imp 123 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4645adantl 275 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4710, 12, 463jca 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
481, 47mpancom 419 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
49 elfz2nn0 9922 . 2 ((𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
5048, 49sylibr 133 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643  cle 7824  cmin 7956  0cn0 9000  cz 9077  ...cfz 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821
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