Theorem fz0fzdiffz0 10224

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 10221	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2		elfzle1 10121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5		elfznn0 10208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		elfznn0 10208	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		nn0sub 9411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
10	4, 9	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
11		elfz3nn0 10209	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elfz2nn0 10206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		elfz2 10109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		zsubcl 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	15	zred 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
18	17	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
19		zre 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21		zre 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	18, 20, 22	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26		nn0ge0 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28		nn0re 9277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		subge02 8524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
30	20, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
33		letr 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
34	25, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
35	34	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
37	36	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
40	14, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
41	40	com13 80	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
43	42	3adant3 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
44	13, 43	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45	44	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
46	45	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
47	10, 12, 46	3jca 1179	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
48	1, 47	mpancom 422	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
49		elfz2nn0 10206	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
50	48, 49	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  0cc0 7898   ≤ cle 8081   − cmin 8216  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

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