Theorem fz1eqb 10187

Description: Two possibly-empty 1-based finite sets of sequential integers are equal iff their endpoints are equal. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqb	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) <-> M = N ) )

Proof of Theorem fz1eqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5299	. . 3 |- ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = (♯ ` ( 1 ... N ) ) )
2		hashfz1 10179	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
3		hashfz1 10179	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
4	2, 3	eqeqan12d 2103	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) = (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> M = N ) )
5	1, 4	syl5ib 152	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) -> M = N ) )
6		oveq2 5652	. 2 |- ( M = N -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) )
7	5, 6	impbid1 140	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 ... M ) = ( 1 ... N ) <-> M = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   1c1 7341   NN0cn0 8663   ...cfz 9414  ♯chash 10171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-ihash 10172

This theorem is referenced by: (None)