Theorem hashfz1 10245

Description: The set ( 1 ... N ) has N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	|- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 8816	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
2		eqid 2089	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 9867	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4		f1ocnv 5279	. . . . 5 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
5		f1of 5266	. . . . 5 |- ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
7		elnn0uz 9110	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	biimpi 119	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	6, 8	ffvelrnd 5449	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om )
10	2	frecfzennn 9887	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
11	10	ensymd 6554	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) )
12		hashennn 10242	. . 3 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om /\ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 404	. 2 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
14		oveq1 5673	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
15	14	cbvmptv 3940	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) )
16		freceq1 6171	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 )
18	17	fveq1i 5319	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
19		f1ocnvfv2 5571	. . . 4 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
20	18, 19	syl5eqr 2135	. . 3 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
21	3, 8, 20	syl2anc 404	. 2 |- ( N e. NN0 -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
22	13, 21	eqtrd 2121	1 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   |-> cmpt 3905   omcom 4418   `'ccnv 4450   -->wf 5024   -1-1-onto->wf1o 5027   ` cfv 5028  (class class class)co 5666  freccfrec 6169   ~~ cen 6509   0cc0 7404   1c1 7405   + caddc 7407   NN0cn0 8727   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073   ...cfz 9478  ♯chash 10237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-recs 6084  df-frec 6170  df-1o 6195  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479  df-ihash 10238

This theorem is referenced by:  fz1eqb  10253  isfinite4im  10255  fihasheq0  10256  hashsng  10260  fseq1hash  10263  hashfz  10283  isummolemnm  10823  isummolem2a  10825  isummo  10827  zisum  10828  fisum  10832  mertenslemi1  10983  phicl2  11522  phibnd  11525  hashdvds  11529  phiprmpw  11530