Theorem hashfz1 10930

Description: The set ( 1 ... N ) has N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	|- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9386	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
2		eqid 2205	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10553	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4		f1ocnv 5537	. . . . 5 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
5		f1of 5524	. . . . 5 |- ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
7		elnn0uz 9688	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	biimpi 120	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	6, 8	ffvelcdmd 5718	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om )
10	2	frecfzennn 10573	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
11	10	ensymd 6877	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) )
12		hashennn 10927	. . 3 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om /\ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
14		oveq1 5953	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
15	14	cbvmptv 4141	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) )
16		freceq1 6480	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 )
18	17	fveq1i 5579	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
19		f1ocnvfv2 5849	. . . 4 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
20	18, 19	eqtr3id 2252	. . 3 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
22	13, 21	eqtrd 2238	1 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   omcom 4639   `'ccnv 4675   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  freccfrec 6478   ~~ cen 6827   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132  ♯chash 10922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-ihash 10923

This theorem is referenced by:  fz1eqb  10937  isfinite4im  10939  fihasheq0  10940  hashsng  10945  fseq1hash  10948  hashfz  10968  nnf1o  11720  summodclem2a  11725  summodc  11727  zsumdc  11728  fsum3  11731  mertenslemi1  11879  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  zproddc  11923  fprodseq  11927  phicl2  12569  phibnd  12572  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  eulerth  12588  pcfac  12706  4sqlem11  12757  gausslemma2dlem6  15577  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589