ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Unicode version

Theorem hashfz1 10536
Description: The set  (
1 ... N ) has  N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 9073 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
2 eqid 2139 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
31, 2frec2uzf1od 10186 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )
)
4 f1ocnv 5380 . . . . 5  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )  ->  `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : (
ZZ>= `  0 ) -1-1-onto-> om )
5 f1of 5367 . . . . 5  |-  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : (
ZZ>= `  0 ) -1-1-onto-> om  ->  `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : (
ZZ>= `  0 ) --> om )
63, 4, 53syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  `'frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) : ( ZZ>= ` 
0 ) --> om )
7 elnn0uz 9370 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
87biimpi 119 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
96, 8ffvelrnd 5556 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
)  e.  om )
102frecfzennn 10206 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  ~~  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
1110ensymd 6677 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
)  ~~  ( 1 ... N ) )
12 hashennn 10533 . . 3  |-  ( ( ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `
 N )  e. 
om  /\  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
)  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  ( `  ( 1 ... N ) )  =  (frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) ) )
139, 11, 12syl2anc 408 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  (frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) `
 ( `'frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) `  N ) ) )
14 oveq1 5781 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
1514cbvmptv 4024 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) )
16 freceq1 6289 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 )
1817fveq1i 5422 . . . 4  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )  =  (frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
19 f1ocnvfv2 5679 . . . 4  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>=
`  0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  -> 
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )  =  N )
2018, 19syl5eqr 2186 . . 3  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>=
`  0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  -> 
(frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )  =  N )
213, 8, 20syl2anc 408 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (frec ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  +  1 ) ) ,  0 ) `  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )  =  N )
2213, 21eqtrd 2172 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... N ) )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   omcom 4504   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287    ~~ cen 6632   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797  ♯chash 10528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-ihash 10529
This theorem is referenced by:  fz1eqb  10544  isfinite4im  10546  fihasheq0  10547  hashsng  10551  fseq1hash  10554  hashfz  10574  nnf1o  11152  summodclem2a  11157  summodc  11159  zsumdc  11160  fsum3  11163  mertenslemi1  11311  prodmodclem3  11351  prodmodclem2a  11352  phicl2  11897  phibnd  11900  hashdvds  11904  phiprmpw  11905
  Copyright terms: Public domain W3C validator