Theorem hashfz1 11171

Description: The set ( 1 ... N ) has N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	|- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9606	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
2		eqid 2234	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10792	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4		f1ocnv 5632	. . . . 5 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
5		f1of 5619	. . . . 5 |- ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
7		elnn0uz 9910	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	biimpi 120	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	6, 8	ffvelcdmd 5818	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om )
10	2	frecfzennn 10812	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
11	10	ensymd 7036	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) )
12		hashennn 11168	. . 3 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om /\ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
14		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
15	14	cbvmptv 4211	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) )
16		freceq1 6636	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 )
18	17	fveq1i 5676	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
19		f1ocnvfv2 5957	. . . 4 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
20	18, 19	eqtr3id 2281	. . 3 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
22	13, 21	eqtrd 2267	1 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   omcom 4717   `'ccnv 4753   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058  freccfrec 6634   ~~ cen 6986   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  fz1eqb  11178  isfinite4im  11180  fihasheq0  11181  hashsng  11186  fseq1hash  11190  hashfz  11211  sseqn  11228  nnf1o  12087  summodclem2a  12092  summodc  12094  zsumdc  12095  fsum3  12098  mertenslemi1  12246  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  zproddc  12290  fprodseq  12294  phicl2  12936  phibnd  12939  hashdvds  12943  phiprmpw  12944  eulerth  12955  pcfac  13073  4sqlem11  13124  ballotfilem1  13164  ballotfilemfmpn  13178  gsumgfsum1  14103  gausslemma2dlem6  16066  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078