Theorem hashfz1 11017

Description: The set ( 1 ... N ) has N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz1	|- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Proof of Theorem hashfz1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9469	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ZZ )
2		eqid 2229	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10640	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4		f1ocnv 5587	. . . . 5 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
5		f1of 5574	. . . . 5 |- ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
7		elnn0uz 9772	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	7	biimpi 120	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	6, 8	ffvelcdmd 5773	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om )
10	2	frecfzennn 10660	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
11	10	ensymd 6943	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) )
12		hashennn 11014	. . 3 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) e. om /\ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ~~ ( 1 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) )
14		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
15	14	cbvmptv 4180	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) )
16		freceq1 6544	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 )
18	17	fveq1i 5630	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
19		f1ocnvfv2 5908	. . . 4 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
20	18, 19	eqtr3id 2276	. . 3 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
21	3, 8, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> (frec ( ( y e. ZZ |-> ( y + 1 ) ) , 0 ) ` ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) ) = N )
22	13, 21	eqtrd 2262	1 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   omcom 4682   `'ccnv 4718   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542   ~~ cen 6893   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216  ♯chash 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-ihash 11010

This theorem is referenced by:  fz1eqb  11024  isfinite4im  11026  fihasheq0  11027  hashsng  11032  fseq1hash  11035  hashfz  11056  nnf1o  11903  summodclem2a  11908  summodc  11910  zsumdc  11911  fsum3  11914  mertenslemi1  12062  prodmodclem3  12102  prodmodclem2a  12103  zproddc  12106  fprodseq  12110  phicl2  12752  phibnd  12755  hashdvds  12759  phiprmpw  12760  eulerth  12771  pcfac  12889  4sqlem11  12940  gausslemma2dlem6  15762  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquadlem3  15774