Theorem filtinf 10200

Description: The size of an infinite set is greater than the size of a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
filtinf	|- ( ( A e. Fin /\ om ~<_ B ) -> (♯ ` A ) < (♯ ` B ) )

Proof of Theorem filtinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10189	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2	1	nn0red 8727	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. RR )
3		ltpnf 9251	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. RR -> (♯ ` A ) < +oo )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) < +oo )
5	4	adantr 270	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ om ~<_ B ) -> (♯ ` A ) < +oo )
6		hashinfom 10186	. . 3 |- ( om ~<_ B -> (♯ ` B ) = +oo )
7	6	adantl 271	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ om ~<_ B ) -> (♯ ` B ) = +oo )
8	5, 7	breqtrrd 3871	1 |- ( ( A e. Fin /\ om ~<_ B ) -> (♯ ` A ) < (♯ ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   omcom 4405   ` cfv 5015   ~<_ cdom 6456   Fincfn 6457   RRcr 7349   +oocpnf 7519   < clt 7522  ♯chash 10183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-ihash 10184

This theorem is referenced by: (None)