Theorem fzo0to3tp 9630

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 8779	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 9559	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 8542	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 8493	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addid2i 7625	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2111	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 5663	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 8761	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 9492	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2089	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 8536	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 3534	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2120	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 7	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2112	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  {ctp 3448  (class class class)co 5652  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353   − cmin 7653  2c2 8473  3c3 8474  ℤcz 8750  ...cfz 9424  ..^cfzo 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554

This theorem is referenced by: (None)