Theorem fzo0to3tp 10620

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9656	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 10538	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 9407	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 9358	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 8463	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2262	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 6090	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 9638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 10468	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 9401	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 3802	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2263	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {ctp 3710  (class class class)co 6079  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   − cmin 8491  2c2 9338  3c3 9339  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by: (None)