Theorem fzp1disj 10441

Description: ( M ... ( N + 1 ) ) is the disjoint union of ( M ... N ) with { ( N + 1 ) }. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	|- ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/)

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10387	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( N + 1 ) <_ N )
2		elfzel2 10381	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
3		zre 9603	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4	3	ltp1d 9226	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
5		peano2z 9635	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
6		zltnle 9645	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
7	5, 6	mpdan 421	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
9	2, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
10	1, 9	pm2.65i 644	. 2 |- -. ( N + 1 ) e. ( M ... N )
11		disjsn 3757	. 2 |- ( ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/) <-> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
12	10, 11	mpbir 146	1 |- ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   i^i cin 3213   (/)c0 3512   {csn 3695   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060   1c1 8146   + caddc 8148   < clt 8326   <_ cle 8327   ZZcz 9599   ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  10455  frecfzennn  10817  zfz1isolem1  11242  gfsump1  14114