Theorem fzp1disj 9983

Description: ( M ... ( N + 1 ) ) is the disjoint union of ( M ... N ) with { ( N + 1 ) }. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	|- ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/)

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9931	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( N + 1 ) <_ N )
2		elfzel2 9927	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
3		zre 9172	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4	3	ltp1d 8802	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
5		peano2z 9204	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
6		zltnle 9214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
7	5, 6	mpdan 418	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
8	4, 7	mpbid 146	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
9	2, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
10	1, 9	pm2.65i 629	. 2 |- -. ( N + 1 ) e. ( M ... N )
11		disjsn 3622	. 2 |- ( ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/) <-> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
12	10, 11	mpbir 145	1 |- ( ( M ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   1c1 7734   + caddc 7736   < clt 7913   <_ cle 7914   ZZcz 9168   ...cfz 9913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-fz 9914

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  9997  frecfzennn  10329  zfz1isolem1  10715