ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzp1disj GIF version

Theorem fzp1disj 10116
Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzp1disj ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj
StepHypRef Expression
1 elfzle2 10064 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2 elfzel2 10059 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zre 9292 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
43ltp1d 8922 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 peano2z 9324 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6 zltnle 9334 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
75, 6mpdan 421 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
84, 7mpbid 147 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
92, 8syl 14 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
101, 9pm2.65i 640 . 2 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11 disjsn 3672 . 2 (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1210, 11mpbir 146 1 ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  cin 3143  c0 3437  {csn 3610   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8027  cle 8028  cz 9288  ...cfz 10044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-fz 10045
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  10130  frecfzennn  10463  zfz1isolem1  10861
  Copyright terms: Public domain W3C validator