Theorem fzp1disj 9555

Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1disj	⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9503	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2		elfzel2 9499	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zre 8815	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	ltp1d 8452	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2z 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6		zltnle 8857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	2, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	1, 9	pm2.65i 604	. 2 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11		disjsn 3508	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	10, 11	mpbir 145	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   ∩ cin 2999  ∅c0 3287  {csn 3450   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  1c1 7412   + caddc 7414   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℤcz 8811  ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  9569  frecfzennn  9894  zfz1isolem1  10306