Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gfsump1 Unicode version
Theorem gfsump1 16885
Description: Splitting off one element from a finite group sum. This would typically used in a proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Apr-2026.)
Hypotheses
Ref Expression
gfsump1.b |- B = ( Base ` G )
gfsump1.p |- .+ = ( +g ` G )
gfsump1.g |- ( ph -> G e. CMnd )
gfsump1.f |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
gfsump1.fi |- ( ph -> Y e. Fin )
gfsump1.zv |- ( ph -> Z e. V )
gfsump1.z |- ( ph -> -. Z e. Y )
Assertion
Ref Expression
gfsump1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Proof of Theorem gfsump1
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gfsump1.fi . . 3 |- ( ph -> Y e. Fin )
2 fzf1o 12065 . . 3 |- ( Y e. Fin -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
31, 2syl 14 . 2 |- ( ph -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
4 gfsump1.b . . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5 gfsump1.g . . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
65adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. CMnd )
7 gfsump1.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
87adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
9 gfsump1.zv . . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10 gfsump1.z . . . . . . 7 |- ( ph -> -. Z e. Y )
11 unsnfi 7181 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Fin /\ Z e. V /\ -. Z e. Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
121, 9, 10, 11syl3anc 1274 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
14 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
15 hashcl 11148 . . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Fin -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
161, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
17 peano2nn0 9538 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
19 f1osng 5659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2018, 9, 19syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2120adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
22 fzp1disj 10418 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/)
2322a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) )
24 disjsn 3753 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. Y )
2510, 24sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
2625adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
27 f1oun 5636 . . . . . . 7 |- ( ( ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } ) /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( Y i^i { Z } ) = (/) ) ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
2814, 21, 23, 26, 27syl22anc 1275 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
291, 10jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) )
30 hashunsng 11176 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. V -> ( ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
319, 29, 30sylc 62 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) )
3231oveq2d 6068 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
33 1z 9605 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
34 nn0uz 9892 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
35 1m1e0 9308 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
3635fveq2i 5675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
3734, 36eqtr4i 2258 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
3816, 37eleqtrdi 2327 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
39 fzsuc2 10417 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4033, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4132, 40eqtrd 2267 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4241adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4342f1oeq2d 5612 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
4428, 43mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
454, 6, 8, 13, 44gfsumval 16879 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( G gsumg ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) )
46 gfsump1.p . . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
475cmnmndd 14042 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
4847adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. Mnd )
49 1zzd 9606 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> 1 e. ZZ )
5038adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
5140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
5251f1oeq2d 5612 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
5328, 52mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
54 f1of 5616 . . . . . . 7 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
5553, 54syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
56 fco 5529 . . . . . 6 |- ( ( F : ( Y u. { Z } ) --> B /\ ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) ) -> ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> B )
578, 55, 56syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> B )
584, 46, 48, 49, 50, 57gsumsplit0 14080 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
5945, 58eqtrd 2267 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
60 resco 5269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
61 resundir 5054 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
62 incom 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
6362, 22eqtri 2255 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/)
64 fnsng 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
6518, 9, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
66 fnresdisj 5470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6765, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6863, 67mpbii 148 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) )
6968uneq2d 3375 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) )
70 un0 3544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
7169, 70eqtrdi 2283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7261, 71eqtrid 2279 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7372coeq2d 4919 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7460, 73eqtrid 2279 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7574adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
76 f1ofn 5617 . . . . . . . . . . 11 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
77 fnresdm 5469 . . . . . . . . . . 11 |- ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7978adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
8079coeq2d 4919 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. h ) )
8175, 80eqtrd 2267 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. h ) )
82 f1of 5616 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8382adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8483frnd 5520 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ran h C_ Y )
85 cores 5268 . . . . . . . 8 |- ( ran h C_ Y -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8684, 85syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8781, 86eqtr4d 2270 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( F |` Y ) o. h ) )
8887oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
89 ssun1 3384 . . . . . . . . 9 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
9089a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ ( Y u. { Z } ) )
917, 90fssresd 5543 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` Y ) : Y --> B )
9291adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F |` Y ) : Y --> B )
931adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Y e. Fin )
944, 6, 92, 93, 14gfsumval 16879 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) = ( G gsumg ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
9588, 94eqtr4d 2270 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) )
96 nn0p1nn 9537 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
9716, 96syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
98 nnuz 9893 . . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9997, 98eleqtrdi 2327 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100 eluzfz2 10369 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
10199, 100syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
102101adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
103 fvco3 5750 . . . . . 6 |- ( ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10455, 102, 103syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10576adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
10665adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
10718adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
108 snidg 3720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
11023, 109jca 306 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
111 fvun2 5746 . . . . . . . 8 |- ( ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
112105, 106, 110, 111syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
1139adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Z e. V )
114 fvsng 5882 . . . . . . . 8 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
115107, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
116112, 115eqtrd 2267 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
117116fveq2d 5676 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
118104, 117eqtrd 2267 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` Z ) )
11995, 118oveq12d 6070 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
12059, 119eqtrd 2267 . 2 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
1213, 120exlimddv 1950 1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   u. cun 3211   i^i cin 3212   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691   <.cop 3694   ran crn 4752   |` cres 4753   o. ccom 4755   Fn wfn 5349   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   - cmin 8446   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345  ♯chash 11142   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   gsumg cgsu 13487   Mndcmnd 13646  CMndccmn 14018   gfsumgf cgfsu 16877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-igsum 13489  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-minusg 13734  df-mulg 13854  df-cmn 14020  df-gfsum 16878
This theorem is referenced by:  gfsumz  16886  gfsumcl  16887
  Copyright terms: Public domain W3C validator