Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gfsump1 Unicode version
Theorem gfsump1 16689
Description: Splitting off one element from a finite group sum. This would typically used in a proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Apr-2026.)
Hypotheses
Ref Expression
gfsump1.b |- B = ( Base ` G )
gfsump1.p |- .+ = ( +g ` G )
gfsump1.g |- ( ph -> G e. CMnd )
gfsump1.f |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
gfsump1.fi |- ( ph -> Y e. Fin )
gfsump1.zv |- ( ph -> Z e. V )
gfsump1.z |- ( ph -> -. Z e. Y )
Assertion
Ref Expression
gfsump1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Proof of Theorem gfsump1
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gfsump1.fi . . 3 |- ( ph -> Y e. Fin )
2 fzf1o 11937 . . 3 |- ( Y e. Fin -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
31, 2syl 14 . 2 |- ( ph -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
4 gfsump1.b . . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5 gfsump1.g . . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
65adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. CMnd )
7 gfsump1.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
87adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
9 gfsump1.zv . . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10 gfsump1.z . . . . . . 7 |- ( ph -> -. Z e. Y )
11 unsnfi 7111 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Fin /\ Z e. V /\ -. Z e. Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
121, 9, 10, 11syl3anc 1273 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
14 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
15 hashcl 11043 . . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Fin -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
161, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
17 peano2nn0 9442 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
19 f1osng 5626 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2018, 9, 19syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2120adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
22 fzp1disj 10315 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/)
2322a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) )
24 disjsn 3731 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. Y )
2510, 24sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
2625adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
27 f1oun 5603 . . . . . . 7 |- ( ( ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } ) /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( Y i^i { Z } ) = (/) ) ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
2814, 21, 23, 26, 27syl22anc 1274 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
291, 10jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) )
30 hashunsng 11071 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. V -> ( ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
319, 29, 30sylc 62 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) )
3231oveq2d 6034 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
33 1z 9505 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
34 nn0uz 9791 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
35 1m1e0 9212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
3635fveq2i 5642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
3734, 36eqtr4i 2255 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
3816, 37eleqtrdi 2324 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
39 fzsuc2 10314 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4033, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4132, 40eqtrd 2264 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4241adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4342f1oeq2d 5579 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
4428, 43mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
454, 6, 8, 13, 44gfsumval 16683 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( G gsumg ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) )
46 gfsump1.p . . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
475cmnmndd 13896 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
4847adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. Mnd )
49 1zzd 9506 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> 1 e. ZZ )
5038adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
5140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
5251f1oeq2d 5579 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
5328, 52mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
54 f1of 5583 . . . . . . 7 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
5553, 54syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
56 fco 5500 . . . . . 6 |- ( ( F : ( Y u. { Z } ) --> B /\ ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) ) -> ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> B )
578, 55, 56syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> B )
584, 46, 48, 49, 50, 57gsumsplit0 13934 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
5945, 58eqtrd 2264 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
60 resco 5241 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
61 resundir 5027 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
62 incom 3399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
6362, 22eqtri 2252 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/)
64 fnsng 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
6518, 9, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
66 fnresdisj 5442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6765, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6863, 67mpbii 148 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) )
6968uneq2d 3361 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) )
70 un0 3528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
7169, 70eqtrdi 2280 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7261, 71eqtrid 2276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7372coeq2d 4892 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7460, 73eqtrid 2276 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7574adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
76 f1ofn 5584 . . . . . . . . . . 11 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
77 fnresdm 5441 . . . . . . . . . . 11 |- ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7876, 77syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7978adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
8079coeq2d 4892 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. h ) )
8175, 80eqtrd 2264 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. h ) )
82 f1of 5583 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8382adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8483frnd 5492 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ran h C_ Y )
85 cores 5240 . . . . . . . 8 |- ( ran h C_ Y -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8684, 85syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8781, 86eqtr4d 2267 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( F |` Y ) o. h ) )
8887oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
89 ssun1 3370 . . . . . . . . 9 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
9089a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ ( Y u. { Z } ) )
917, 90fssresd 5513 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` Y ) : Y --> B )
9291adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F |` Y ) : Y --> B )
931adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Y e. Fin )
944, 6, 92, 93, 14gfsumval 16683 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) = ( G gsumg ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
9588, 94eqtr4d 2267 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) )
96 nn0p1nn 9441 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
9716, 96syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
98 nnuz 9792 . . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9997, 98eleqtrdi 2324 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100 eluzfz2 10267 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
10199, 100syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
102101adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
103 fvco3 5717 . . . . . 6 |- ( ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10455, 102, 103syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10576adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
10665adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
10718adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
108 snidg 3698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
11023, 109jca 306 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
111 fvun2 5713 . . . . . . . 8 |- ( ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
112105, 106, 110, 111syl3anc 1273 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
1139adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Z e. V )
114 fvsng 5850 . . . . . . . 8 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
115107, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
116112, 115eqtrd 2264 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
117116fveq2d 5643 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
118104, 117eqtrd 2264 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` Z ) )
11995, 118oveq12d 6036 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( G gsumg ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
12059, 119eqtrd 2264 . 2 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
1213, 120exlimddv 1947 1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( ( G gfsumgf ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   <.cop 3672   ran crn 4726   |` cres 4727   o. ccom 4729   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243  ♯chash 11037   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   gsumg cgsu 13341   Mndcmnd 13500  CMndccmn 13872   gfsumgf cgfsu 16681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10710  df-ihash 11038  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-igsum 13343  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-minusg 13588  df-mulg 13708  df-cmn 13874  df-gfsum 16682
This theorem is referenced by:  gfsumcl  16690
  Copyright terms: Public domain W3C validator