ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsuc GIF version

Theorem fzsuc 9537
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9125 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 9500 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
31, 2syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4 peano2fzr 9505 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
53, 4mpdan 413 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6 fzsplit 9519 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
75, 6syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
8 eluzelz 9082 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 fzsn 9534 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
101, 8, 93syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
1110uneq2d 3155 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
127, 11eqtrd 2121 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1290  wcel 1439  cun 2998  {csn 3450  cfv 5028  (class class class)co 5666  1c1 7405   + caddc 7407  cz 8804  cuz 9073  ...cfz 9478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479
This theorem is referenced by:  elfzp1  9540  fztp  9546  fzsuc2  9547  exfzdc  9705  uzsinds  9902  prmind2  11434
  Copyright terms: Public domain W3C validator