Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztp GIF version

Theorem fztp 9809
 Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 9292 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uz 9330 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
3 fzsuc 9800 . . 3 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
5 zcn 9013 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 7677 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7 addass 7714 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
86, 6, 7mp3an23 1290 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
95, 8syl 14 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
10 df-2 8739 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1110oveq2i 5751 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
129, 11syl6eqr 2166 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
1312oveq2d 5756 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 2)))
14 fzpr 9808 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
1512sneqd 3508 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 + 1) + 1)} = {(𝑀 + 2)})
1614, 15uneq12d 3199 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)}))
17 df-tp 3503 . . 3 {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)} = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)})
1816, 17syl6eqr 2166 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
194, 13, 183eqtr3d 2156 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ∪ cun 3037  {csn 3495  {cpr 3496  {ctp 3497  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  ℂcc 7582  1c1 7585   + caddc 7587  2c2 8731  ℤcz 9008  ℤ≥cuz 9278  ...cfz 9741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-tp 3503  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742 This theorem is referenced by:  fztpval  9814  fz0tp  9852  fzo0to3tp  9947
 Copyright terms: Public domain W3C validator