Theorem grpinvinv 13780

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 13761	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
4		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 4, 5, 2	grprinv 13764	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
7	3, 6	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
8	1, 4, 5, 2	grplinv 13763	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
9	7, 8	eqtr4d 2268	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
10		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 2	grpinvcl 13761	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 4	grplcan 13775	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋))
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋))
16	9, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  0_gc0g 13469  Grpcgrp 13713  inv_gcminusg 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717

This theorem is referenced by:  grpinv11  13782  grpinvnz  13784  grpsubinv  13786  grpinvsub  13795  grpsubeq0  13799  grpnpcan  13805  mulgneg  13857  mulgnegneg  13858  mulginvinv  13865  mulgdir  13871  mulgass  13876  eqger  13941  ablsub2inv  14028  invghm  14046  rngm2neg  14093  ringm2neg  14199  unitinvinv  14269  unitnegcl  14275  lspsnneg  14568