Theorem grpinvinv 13637

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 13618	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 4, 5, 2	grprinv 13621	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
7	3, 6	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
8	1, 4, 5, 2	grplinv 13620	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
9	7, 8	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
10		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 2	grpinvcl 13618	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 4	grplcan 13632	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋))
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁‘(𝑁‘𝑋))) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋))
16	9, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  Basecbs 13069  +_gcplusg 13147  0_gc0g 13326  Grpcgrp 13570  inv_gcminusg 13571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1re 8114  ax-addrcl 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-inn 9132  df-2 9190  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-plusg 13160  df-0g 13328  df-mgm 13426  df-sgrp 13472  df-mnd 13487  df-grp 13573  df-minusg 13574

This theorem is referenced by:  grpinv11  13639  grpinvnz  13641  grpsubinv  13643  grpinvsub  13652  grpsubeq0  13656  grpnpcan  13662  mulgneg  13714  mulgnegneg  13715  mulginvinv  13722  mulgdir  13728  mulgass  13733  eqger  13798  ablsub2inv  13885  invghm  13903  rngm2neg  13949  ringm2neg  14055  unitinvinv  14125  unitnegcl  14131  lspsnneg  14421