Theorem mulginvinv 14010

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulginvcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulginvcom.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulginvinv	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` ( N .x. ( I ` X ) ) ) = ( N .x. X ) )

Proof of Theorem mulginvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulginvcom.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		mulginvcom.i	. . . . 5 |- I = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13912	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
4	3	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
5		mulginvcom.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
6	1, 5, 2	mulginvcom 14009	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( N .x. ( I ` ( I ` X ) ) ) = ( I ` ( N .x. ( I ` X ) ) ) )
7	4, 6	syld3an3 1323	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` ( I ` X ) ) ) = ( I ` ( N .x. ( I ` X ) ) ) )
8	1, 2	grpinvinv 13931	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` ( I ` X ) ) = X )
9	8	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` ( I ` X ) ) = X )
10	9	oveq2d 6104	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` ( I ` X ) ) ) = ( N .x. X ) )
11	7, 10	eqtr3d 2273	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` ( N .x. ( I ` X ) ) ) = ( N .x. X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZcz 9655   Basecbs 13410   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865  ._gcmg 13981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982

This theorem is used by: (None)