Theorem immul2 10762

Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
immul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Im ` B ) ) )

Proof of Theorem immul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7848	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		immul 10761	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
4		rere 10747	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Re ` A ) = A )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) = A )
6	5	oveq1d 5833	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) = ( A x. ( Im ` B ) ) )
7		reim0 10743	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
8	7	oveq1d 5833	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) = ( 0 x. ( Re ` B ) ) )
9		recl 10735	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
10	9	recnd 7889	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
11	10	mul02d 8250	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 0 x. ( Re ` B ) ) = 0 )
12	8, 11	sylan9eq 2210	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) = 0 )
13	6, 12	oveq12d 5836	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) = ( ( A x. ( Im ` B ) ) + 0 ) )
14		imcl 10736	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
15	14	recnd 7889	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
16		mulcl 7842	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( A x. ( Im ` B ) ) e. CC )
17	1, 15, 16	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( A x. ( Im ` B ) ) e. CC )
18	17	addid1d 8007	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( Im ` B ) ) + 0 ) = ( A x. ( Im ` B ) ) )
19	3, 13, 18	3eqtrd 2194	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( A x. ( Im ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   CCcc 7713   RRcr 7714   0cc0 7715   + caddc 7718   x. cmul 7720   Recre 10722   Imcim 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-2 8875  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726

This theorem is referenced by:  imdivap  10763  immul2d  10855