ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  immul2 Unicode version

Theorem immul2 10310
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
immul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem immul2
StepHypRef Expression
1 recn 7473 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 immul 10309 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
31, 2sylan 277 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
4 rere 10295 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 5667 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
7 reim0 10291 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 5667 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Re `  B
) ) )
9 recl 10283 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 7514 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
1110mul02d 7868 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Re
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2140 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 5670 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Im
`  B ) )  +  0 ) )
14 imcl 10284 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1514recnd 7514 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
16 mulcl 7467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
1817addid1d 7629 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Im `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2124 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   0cc0 7348    + caddc 7351    x. cmul 7353   Recre 10270   Imcim 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-2 8479  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274
This theorem is referenced by:  imdivap  10311  immul2d  10403
  Copyright terms: Public domain W3C validator