Theorem immul2 10684

Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
immul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem immul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		immul 10683	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
3	1, 2	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
4		rere 10669	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq1d 5797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))
7		reim0 10665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
8	7	oveq1d 5797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = (0 · (ℜ‘𝐵)))
9		recl 10657	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7818	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 8178	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · (ℜ‘𝐵)) = 0)
12	8, 11	sylan9eq 2193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 5800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) = ((𝐴 · (ℑ‘𝐵)) + 0))
14		imcl 10658	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 7818	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 7771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	1, 15, 16	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	17	addid1d 7935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (ℑ‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))
19	3, 13, 18	3eqtrd 2177	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644   + caddc 7647   · cmul 7649  ℜcre 10644  ℑcim 10645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-2 8803  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648

This theorem is referenced by:  imdivap  10685  immul2d  10777