ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expgt1 Unicode version
Theorem expgt1 10672
Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expgt1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )
Proof of Theorem expgt1
StepHypRef Expression
1 1re 8028 . . 3 |- 1 e. RR
21a1i 9 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
3 simp1 999 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. RR )
4 simp2 1000 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN )
54nnnn0d 9305 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
6 reexpcl 10651 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. RR )
73, 5, 6syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
8 simp3 1001 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < A )
9 nnm1nn0 9293 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
104, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
11 ltle 8117 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
121, 3, 11sylancr 414 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
138, 12mpd 13 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ A )
14 expge1 10671 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
153, 10, 13, 14syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
16 reexpcl 10651 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
173, 10, 16syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
18 0red 8030 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
19 0lt1 8156 . . . . . . 7 |- 0 < 1
2019a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
2118, 2, 3, 20, 8lttrd 8155 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < A )
22 lemul1 8623 . . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
232, 17, 3, 21, 22syl112anc 1253 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
2415, 23mpbid 147 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
25 recn 8015 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
26253ad2ant1 1020 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. CC )
2726mulid2d 8048 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) = A )
2827eqcomd 2202 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A = ( 1 x. A ) )
29 expm1t 10662 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
3026, 4, 29syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
3124, 28, 303brtr4d 4066 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A <_ ( A ^ N ) )
322, 3, 7, 8, 31ltletrd 8453 1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   CCcc 7880   RRcr 7881   0cc0 7882   1c1 7883   x. cmul 7887   < clt 8064   <_ cle 8065   - cmin 8200   NNcn 8993   NN0cn0 9252   ^cexp 10633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-seqfrec 10543  df-exp 10634
This theorem is referenced by:  ltexp2a  10686  dvdsprmpweqle  12517  logbgcd1irraplemexp  15230  perfectlem1  15261  perfectlem2  15262
  Copyright terms: Public domain W3C validator