Theorem expgt1 10560

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7958	. . 3 |- 1 e. RR
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
3		simp1 997	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. RR )
4		simp2 998	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 9231	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
6		reexpcl 10539	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. RR )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
8		simp3 999	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < A )
9		nnm1nn0 9219	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
10	4, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
11		ltle 8047	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
12	1, 3, 11	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
13	8, 12	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ A )
14		expge1 10559	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
16		reexpcl 10539	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
17	3, 10, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
18		0red 7960	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
19		0lt1 8086	. . . . . . 7 |- 0 < 1
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 8085	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < A )
22		lemul1 8552	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1242	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
24	15, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
25		recn 7946	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
26	25	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. CC )
27	26	mulid2d 7978	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) = A )
28	27	eqcomd 2183	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A = ( 1 x. A ) )
29		expm1t 10550	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
30	26, 4, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
31	24, 28, 30	3brtr4d 4037	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A <_ ( A ^ N ) )
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 8382	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ^cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  ltexp2a  10574  dvdsprmpweqle  12338  logbgcd1irraplemexp  14425