Theorem expgt1 10324

Description: Positive integer exponentiation with a mantissa greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7758	. . 3 |- 1 e. RR
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
3		simp1 981	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. RR )
4		simp2 982	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 9023	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
6		reexpcl 10303	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. RR )
7	3, 5, 6	syl2anc 408	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
8		simp3 983	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < A )
9		nnm1nn0 9011	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
10	4, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
11		ltle 7844	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
12	1, 3, 11	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 < A -> 1 <_ A ) )
13	8, 12	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ A )
14		expge1 10323	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) )
16		reexpcl 10303	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
17	3, 10, 16	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
18		0red 7760	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
19		0lt1 7882	. . . . . . 7 |- 0 < 1
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 7881	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 0 < A )
22		lemul1 8348	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A ^ ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1220	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 <_ ( A ^ ( N - 1 ) ) <-> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) ) )
24	15, 23	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) <_ ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
25		recn 7746	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
26	25	3ad2ant1 1002	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A e. CC )
27	26	mulid2d 7777	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( 1 x. A ) = A )
28	27	eqcomd 2143	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A = ( 1 x. A ) )
29		expm1t 10314	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
30	26, 4, 29	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
31	24, 28, 30	3brtr4d 3955	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> A <_ ( A ^ N ) )
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 8178	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A ) -> 1 < ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   x. cmul 7618   < clt 7793   <_ cle 7794   - cmin 7926   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ^cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  ltexp2a  10338