ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12a Unicode version
Theorem lemul12a 8778
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 524 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) )
2 simpll 524 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) -> C e. RR )
32ad2antlr 486 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> C e. RR )
4 simplrr 531 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> D e. RR )
5 0re 7920 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6 letr 8002 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
75, 6mp3an1 1319 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
87exp4b 365 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( D e. RR -> ( 0 <_ C -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( 0 <_ C -> ( D e. RR -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
109imp41 351 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) /\ C <_ D ) -> 0 <_ D )
1110ad2ant2l 505 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> 0 <_ D )
124, 11jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 <_ D ) )
131, 3, 12jca32 308 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) )
14 simpr 109 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A <_ B /\ C <_ D ) )
15 lemul12b 8777 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
1613, 14, 15sylc 62 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) )
1716ex 114 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   x. cmul 7779   <_ cle 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501
This theorem is referenced by:  lemulge11  8782  lediv12a  8810  lemul12ad  8858  expge1  10513  leexp1a  10531  faclbnd6  10678  mertenslemi1  11498  lgslem3  13697
  Copyright terms: Public domain W3C validator