ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12a Unicode version
Theorem lemul12a 8727
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) )
2 simpll 519 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) -> C e. RR )
32ad2antlr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> C e. RR )
4 simplrr 526 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> D e. RR )
5 0re 7872 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6 letr 7954 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
75, 6mp3an1 1306 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
87exp4b 365 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( D e. RR -> ( 0 <_ C -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( 0 <_ C -> ( D e. RR -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
109imp41 351 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) /\ C <_ D ) -> 0 <_ D )
1110ad2ant2l 500 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> 0 <_ D )
124, 11jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 <_ D ) )
131, 3, 12jca32 308 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) )
14 simpr 109 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A <_ B /\ C <_ D ) )
15 lemul12b 8726 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
1613, 14, 15sylc 62 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) )
1716ex 114 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7725   0cc0 7726   x. cmul 7731   <_ cle 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451
This theorem is referenced by:  lemulge11  8731  lediv12a  8759  lemul12ad  8807  expge1  10449  leexp1a  10467  faclbnd6  10611  mertenslemi1  11425
  Copyright terms: Public domain W3C validator