ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12a Unicode version

Theorem lemul12a 8295
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )

Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
2 simpll 496 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
32ad2antlr 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  ->  C  e.  RR )
4 simplrr 503 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
5 0re 7467 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 letr 7547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <_  D
) )
75, 6mp3an1 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  C  /\  C  <_  D
)  ->  0  <_  D ) )
87exp4b 359 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  ( D  e.  RR  ->  ( 0  <_  C  ->  ( C  <_  D  ->  0  <_  D ) ) ) )
98com23 77 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  (
0  <_  C  ->  ( D  e.  RR  ->  ( C  <_  D  ->  0  <_  D ) ) ) )
109imp41 345 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR )  /\  C  <_  D )  ->  0  <_  D )
1110ad2ant2l 492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
0  <_  D )
124, 11jca 300 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)
131, 3, 12jca32 303 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) ) )
14 simpr 108 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )
15 lemul12b 8294 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
1613, 14, 15sylc 61 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )
1716ex 113 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329    x. cmul 7334    <_ cle 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035
This theorem is referenced by:  lemulge11  8299  lediv12a  8327  lemul12ad  8375  expge1  9957  leexp1a  9975  faclbnd6  10117
  Copyright terms: Public domain W3C validator