ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12a Unicode version
Theorem lemul12a 9041
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) )
2 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) -> C e. RR )
32ad2antlr 489 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> C e. RR )
4 simplrr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> D e. RR )
5 0re 8178 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6 letr 8261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
75, 6mp3an1 1360 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
87exp4b 367 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( D e. RR -> ( 0 <_ C -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( 0 <_ C -> ( D e. RR -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
109imp41 353 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) /\ C <_ D ) -> 0 <_ D )
1110ad2ant2l 508 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> 0 <_ D )
124, 11jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 <_ D ) )
131, 3, 12jca32 310 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) )
14 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A <_ B /\ C <_ D ) )
15 lemul12b 9040 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
1613, 14, 15sylc 62 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) )
1716ex 115 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   x. cmul 8036   <_ cle 8214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761
This theorem is referenced by:  lemulge11  9045  lediv12a  9073  lemul12ad  9121  expge1  10837  leexp1a  10855  faclbnd6  11005  mertenslemi1  12095  lgslem3  15730
  Copyright terms: Public domain W3C validator