ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12a Unicode version
Theorem lemul12a 8644
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) )
2 simpll 519 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) -> C e. RR )
32ad2antlr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> C e. RR )
4 simplrr 526 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> D e. RR )
5 0re 7790 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6 letr 7871 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
75, 6mp3an1 1303 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( 0 <_ C /\ C <_ D ) -> 0 <_ D ) )
87exp4b 365 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR -> ( D e. RR -> ( 0 <_ C -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( 0 <_ C -> ( D e. RR -> ( C <_ D -> 0 <_ D ) ) ) )
109imp41 351 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) /\ C <_ D ) -> 0 <_ D )
1110ad2ant2l 500 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> 0 <_ D )
124, 11jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( D e. RR /\ 0 <_ D ) )
131, 3, 12jca32 308 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) )
14 simpr 109 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A <_ B /\ C <_ D ) )
15 lemul12b 8643 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
1613, 14, 15sylc 62 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) /\ ( A <_ B /\ C <_ D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) )
1716ex 114 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   x. cmul 7649   <_ cle 7825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368
This theorem is referenced by:  lemulge11  8648  lediv12a  8676  lemul12ad  8724  expge1  10361  leexp1a  10379  faclbnd6  10522  mertenslemi1  11336
  Copyright terms: Public domain W3C validator