Theorem lmconst 12374

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmconst.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
lmconst	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P )

Proof of Theorem lmconst

Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> P e. X )
2		simp3 983	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		uzid 9333	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5		lmconst.2	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleqtrrdi 2231	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. Z )
7		idd 21	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( P e. u -> P e. u ) )
8	7	ralrimdva 2510	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( P e. u -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) )
9		fveq2 5414	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
10	9	raleqdv 2630	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) )
11	10	rspcev 2784	. . . 4 |- ( ( M e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u )
12	6, 8, 11	syl6an 1410	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) )
13	12	ralrimivw 2504	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) )
14		simp1 981	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15		fconst6g 5316	. . . 4 |- ( P e. X -> ( Z X. { P } ) : Z --> X )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) : Z --> X )
17		fvconst2g 5627	. . . 4 |- ( ( P e. X /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { P } ) ` k ) = P )
18	1, 17	sylan 281	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { P } ) ` k ) = P )
19	14, 5, 2, 16, 18	lmbrf 12373	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) ) ) )
20	1, 13, 19	mpbir2and 928	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {csn 3522   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319  TopOnctopon 12166   ~~> tclm 12345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pm 6538  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-top 12154  df-topon 12167  df-lm 12348

This theorem is referenced by: (None)