Theorem lmconst 12385

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmconst.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmconst	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝑃})(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Proof of Theorem lmconst

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		simp3 983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 9340	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		lmconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrrdi 2233	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ 𝑍)
7		idd 21	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → 𝑃 ∈ 𝑢))
8	7	ralrimdva 2512	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝑃 ∈ 𝑢))
9		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
10	9	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑃 ∈ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝑃 ∈ 𝑢))
11	10	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝑃 ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑃 ∈ 𝑢)
12	6, 8, 11	syl6an 1410	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑃 ∈ 𝑢))
13	12	ralrimivw 2506	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑃 ∈ 𝑢))
14		simp1 981	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		fconst6g 5321	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑍 × {𝑃}):𝑍⟶𝑋)
16	1, 15	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝑃}):𝑍⟶𝑋)
17		fvconst2g 5634	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝑃})‘𝑘) = 𝑃)
18	1, 17	sylan 281	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝑃})‘𝑘) = 𝑃)
19	14, 5, 2, 16, 18	lmbrf 12384	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑍 × {𝑃})(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑃 ∈ 𝑢))))
20	1, 13, 19	mpbir2and 928	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝑃})(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  TopOnctopon 12177  ⇝_𝑡clm 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-top 12165  df-topon 12178  df-lm 12359

This theorem is referenced by: (None)