Theorem lspsnel 13694

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, K   k, N   U, k   k, V   k, W   .x. , k   k, X

Proof of Theorem lspsnel

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
3		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lspsn.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 13693	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
7	6	eleq2d 2259	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U = ( k .x. X ) )
9		vex 2755	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vscaslid 12640	. . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 12507	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrid 2276	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
13		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
14		ovexg 5925	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1355	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> ( k .x. X ) e. _V )
17	8, 16	eqeltrd 2266	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U e. _V )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
19	18	rexlimdvw 2611	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
20		eqeq1 2196	. . . . 5 |- ( v = U -> ( v = ( k .x. X ) <-> U = ( k .x. X ) ) )
21	20	rexbidv 2491	. . . 4 |- ( v = U -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
22	21	elab3g 2903	. . 3 |- ( ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
23	19, 22	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
24	7, 23	bitrd 188	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   {csn 3607   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12480  Scalarcsca 12558   .scvsca 12559   LModclmod 13564   LSpanclspn 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-sbg 12916  df-mgp 13236  df-ur 13275  df-ring 13313  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664

This theorem is referenced by:  lspsnss2  13696