Theorem lspsnel 13569

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsn.k	|- K = ( Base ` F )
lspsn.v	|- V = ( Base ` W )
lspsn.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsn.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, K   k, N   U, k   k, V   k, W   .x. , k   k, X

Proof of Theorem lspsnel

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lspsn.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
3		lspsn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lspsn.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lspsn.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 13568	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) = { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
7	6	eleq2d 2257	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U = ( k .x. X ) )
9		vex 2752	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vscaslid 12635	. . . . . . . . . 10 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 12502	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrid 2274	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> .x. e. _V )
13		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
14		ovexg 5922	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. _V /\ .x. e. _V /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1354	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> ( k .x. X ) e. _V )
17	8, 16	eqeltrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ U = ( k .x. X ) ) -> U e. _V )
18	17	ex 115	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
19	18	rexlimdvw 2608	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) )
20		eqeq1 2194	. . . . 5 |- ( v = U -> ( v = ( k .x. X ) <-> U = ( k .x. X ) ) )
21	20	rexbidv 2488	. . . 4 |- ( v = U -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
22	21	elab3g 2900	. . 3 |- ( ( E. k e. K U = ( k .x. X ) -> U e. _V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
23	19, 22	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )
24	7, 23	bitrd 188	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( U e. ( N ` { X } ) <-> E. k e. K U = ( k .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   {cab 2173   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   {csn 3604   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   LModclmod 13439   LSpanclspn 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539

This theorem is referenced by:  lspsnss2  13571