ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsnel GIF version
Theorem lspsnel 13694
Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnel ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem lspsnel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 lspsn.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5lspsn 13693 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
76eleq2d 2259 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}))
8 simpr 110 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋))
9 vex 2755 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
10 vscaslid 12640 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx) ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
1110slotex 12507 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V)
124, 11eqeltrid 2276 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· ∈ V)
13 simpr 110 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 ovexg 5925 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ V ∧ Β· ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
159, 12, 13, 14mp3an2ani 1355 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
1615adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
178, 16eqeltrd 2266 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1817ex 115 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V))
1918rexlimdvw 2611 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V))
20 eqeq1 2196 . . . . 5 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2120rexbidv 2491 . . . 4 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2221elab3g 2903 . . 3 ((βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2319, 22syl 14 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
247, 23bitrd 188 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {cab 2175  βˆƒwrex 2469  Vcvv 2752  {csn 3607  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12480  Scalarcsca 12558   ·𝑠 cvsca 12559  LModclmod 13564  LSpanclspn 13663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-sbg 12916  df-mgp 13236  df-ur 13275  df-ring 13313  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664
This theorem is referenced by:  lspsnss2  13696
  Copyright terms: Public domain W3C validator