ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsnel GIF version
Theorem lspsnel 13569
Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnel ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem lspsnel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 lspsn.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5lspsn 13568 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
76eleq2d 2257 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}))
8 simpr 110 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋))
9 vex 2752 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
10 vscaslid 12635 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx) ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
1110slotex 12502 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V)
124, 11eqeltrid 2274 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· ∈ V)
13 simpr 110 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 ovexg 5922 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ V ∧ Β· ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
159, 12, 13, 14mp3an2ani 1354 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
1615adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V)
178, 16eqeltrd 2264 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1817ex 115 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V))
1918rexlimdvw 2608 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V))
20 eqeq1 2194 . . . . 5 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2120rexbidv 2488 . . . 4 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2221elab3g 2900 . . 3 ((βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2319, 22syl 14 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
247, 23bitrd 188 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cab 2173  βˆƒwrex 2466  Vcvv 2749  {csn 3604  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  LModclmod 13439  LSpanclspn 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539
This theorem is referenced by:  lspsnss2  13571
  Copyright terms: Public domain W3C validator