Theorem lspf 14093

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables j p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 14092	. 2 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
6		ssrab2 3277	. . . 4 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
8	1, 2	lss1 14066	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
9		elpwi 3624	. . . . 5 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
10		sseq2 3216	. . . . . 6 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
11	10	rspcev 2876	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
13		rabn0m 3487	. . . 4 |- ( E. j j e. { p e. S | s C_ p } <-> E. p e. S s C_ p )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. j j e. { p e. S | s C_ p } )
15	2	lssintclm 14088	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ E. j j e. { p e. S | s C_ p } ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
17	4, 16	fmpt3d 5735	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   E.wrex 2484   {crab 2487   C_ wss 3165   ~Pcpw 3615   |^|cint 3884   -->wf 5266   ` cfv 5270   Basecbs 12774   LModclmod 13991   LSubSpclss 14056   LSpanclspn 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-sbg 13279  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-ring 13702  df-lmod 13993  df-lssm 14057  df-lsp 14091

This theorem is referenced by:  lspcl  14095