Theorem lspf 14266

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables j p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 14265	. 2 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
6		ssrab2 3286	. . . 4 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
8	1, 2	lss1 14239	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
9		elpwi 3635	. . . . 5 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
10		sseq2 3225	. . . . . 6 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
11	10	rspcev 2884	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
13		rabn0m 3496	. . . 4 |- ( E. j j e. { p e. S | s C_ p } <-> E. p e. S s C_ p )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. j j e. { p e. S | s C_ p } )
15	2	lssintclm 14261	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ E. j j e. { p e. S | s C_ p } ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
17	4, 16	fmpt3d 5759	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   {crab 2490   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   |^|cint 3899   -->wf 5286   ` cfv 5290   Basecbs 12947   LModclmod 14164   LSubSpclss 14229   LSpanclspn 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-lmod 14166  df-lssm 14230  df-lsp 14264

This theorem is referenced by:  lspcl  14268