Theorem lspf 13481

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables j p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13480	. 2 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
6		ssrab2 3242	. . . 4 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
8	1, 2	lss1 13454	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
9		elpwi 3586	. . . . 5 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
10		sseq2 3181	. . . . . 6 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
11	10	rspcev 2843	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
13		rabn0m 3452	. . . 4 |- ( E. j j e. { p e. S | s C_ p } <-> E. p e. S s C_ p )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. j j e. { p e. S | s C_ p } )
15	2	lssintclm 13476	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ E. j j e. { p e. S | s C_ p } ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
17	4, 16	fmpt3d 5674	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   |^|cint 3846   -->wf 5214   ` cfv 5218   Basecbs 12464   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447   LSpanclspn 13478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448  df-lsp 13479

This theorem is referenced by:  lspcl  13483