Theorem lspf 13730

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables j p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13729	. 2 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
6		ssrab2 3255	. . . 4 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
8	1, 2	lss1 13703	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
9		elpwi 3602	. . . . 5 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
10		sseq2 3194	. . . . . 6 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
11	10	rspcev 2856	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
13		rabn0m 3465	. . . 4 |- ( E. j j e. { p e. S | s C_ p } <-> E. p e. S s C_ p )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. j j e. { p e. S | s C_ p } )
15	2	lssintclm 13725	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ E. j j e. { p e. S | s C_ p } ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
17	4, 16	fmpt3d 5696	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   E.wrex 2469   {crab 2472   C_ wss 3144   ~Pcpw 3593   |^|cint 3862   -->wf 5234   ` cfv 5238   Basecbs 12523   LModclmod 13628   LSubSpclss 13693   LSpanclspn 13727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-sbg 12973  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377  df-lmod 13630  df-lssm 13694  df-lsp 13728

This theorem is referenced by:  lspcl  13732