Theorem lspf 14236

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables j p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 14235	. 2 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
6		ssrab2 3282	. . . 4 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
8	1, 2	lss1 14209	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> V e. S )
9		elpwi 3630	. . . . 5 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
10		sseq2 3221	. . . . . 6 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
11	10	rspcev 2881	. . . . 5 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
13		rabn0m 3492	. . . 4 |- ( E. j j e. { p e. S | s C_ p } <-> E. p e. S s C_ p )
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. j j e. { p e. S | s C_ p } )
15	2	lssintclm 14231	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ E. j j e. { p e. S | s C_ p } ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
17	4, 16	fmpt3d 5754	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   E.wrex 2486   {crab 2489   C_ wss 3170   ~Pcpw 3621   |^|cint 3894   -->wf 5281   ` cfv 5285   Basecbs 12917   LModclmod 14134   LSubSpclss 14199   LSpanclspn 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-mgp 13768  df-ur 13807  df-ring 13845  df-lmod 14136  df-lssm 14200  df-lsp 14234

This theorem is referenced by:  lspcl  14238