Theorem lssvscl 14333

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
5		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssvscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lsselg 14319	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lssvscl.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lssvscl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
12	5, 9, 10, 11	lmodvscl 14263	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
13	1, 2, 8, 12	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
14		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
15		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	5, 14, 15	lmod0vrid 14277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
17	1, 13, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
18	15, 6	lss0cl 14327	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
20	9, 11, 14, 10, 6	lssclg 14322	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
21	1, 3, 2, 4, 19, 20	syl113anc 1283	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
22	17, 21	eqeltrrd 2307	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  Scalarcsca 13108   ·_𝑠 cvsca 13109  0_gc0g 13284  LModclmod 14245  LSubSpclss 14310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247  df-lssm 14311

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  14334  islss3  14337  islss4  14340  lspsneli  14373  lspsn  14374