Theorem lssvscl 13931

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
5		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssvscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lsselg 13917	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lssvscl.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lssvscl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
12	5, 9, 10, 11	lmodvscl 13861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
13	1, 2, 8, 12	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
14		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
15		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	5, 14, 15	lmod0vrid 13875	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
17	1, 13, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
18	15, 6	lss0cl 13925	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
20	9, 11, 14, 10, 6	lssclg 13920	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
21	1, 3, 2, 4, 19, 20	syl113anc 1261	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
22	17, 21	eqeltrrd 2274	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  0_gc0g 12927  LModclmod 13843  LSubSpclss 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  13932  islss3  13935  islss4  13938  lspsneli  13971  lspsn  13972