ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqi GIF version

Theorem ltanqi 7111
Description: Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 7109. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqi ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltanqi
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 ltrelnq 7074 . . . 4 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4529 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
4 ltanqg 7109 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
543expa 1149 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
63, 5sylan 279 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
71, 6mpbid 146 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  Qcnq 6989   +Q cplq 6991   <Q cltq 6994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-ltnqqs 7062
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  7124  prmuloclemcalc  7274  ltexprlemlol  7311  ltexprlemupu  7313  addcanprlemu  7324  cauappcvgprlemloc  7361  cauappcvgprlem2  7369  caucvgprlemloc  7384  caucvgprlem1  7388  caucvgprlem2  7389  caucvgprprlemloccalc  7393
  Copyright terms: Public domain W3C validator