Theorem modqid2 10408

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid2	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = A <-> ( 0 <_ A /\ A < B ) ) )

Proof of Theorem modqid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqge0 10389	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
2		modqlt 10390	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) )
4		breq2 4029	. . . 4 |- ( ( A mod B ) = A -> ( 0 <_ ( A mod B ) <-> 0 <_ A ) )
5		breq1 4028	. . . 4 |- ( ( A mod B ) = A -> ( ( A mod B ) < B <-> A < B ) )
6	4, 5	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A mod B ) = A -> ( ( 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < B ) <-> ( 0 <_ A /\ A < B ) ) )
7	3, 6	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = A -> ( 0 <_ A /\ A < B ) ) )
8		modqid 10406	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )
9	8	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> ( A mod B ) = A ) )
10	9	3adant3 1019	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> ( A mod B ) = A ) )
11	7, 10	impbid 129	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) = A <-> ( 0 <_ A /\ A < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5906   0cc0 7858   < clt 8040   <_ cle 8041   QQcq 9670   mod cmo 10379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-n0 9227  df-z 9304  df-q 9671  df-rp 9706  df-fl 10325  df-mod 10380

This theorem is referenced by:  zmodid2  10409