Theorem modqid2 10365

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid2	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem modqid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqge0 10346	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
2		modqlt 10347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵))
4		breq2 4019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ↔ 0 ≤ 𝐴))
5		breq1 4018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
6	4, 5	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → ((0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
7	3, 6	syl5ibcom 155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
8		modqid 10363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴))
10	9	3adant3 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴))
11	7, 10	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7825   < clt 8006   ≤ cle 8007  ℚcq 9633   mod cmo 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284  df-mod 10337

This theorem is referenced by:  zmodid2  10366