Theorem modqid0 10344

Description: A positive real number modulo itself is 0. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid0	|- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( N mod N ) = 0 )

Proof of Theorem modqid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9620	. . . . . 6 |- ( N e. QQ -> N e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> N e. RR )
3	2	recnd 7981	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> N e. CC )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> 0 < N )
5	2, 4	gt0ap0d 8581	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> N # 0 )
6	3, 5	dividapd 8738	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( N / N ) = 1 )
7		1z 9274	. . 3 |- 1 e. ZZ
8	6, 7	eqeltrdi 2268	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( N / N ) e. ZZ )
9		modq0 10323	. . 3 |- ( ( N e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( N mod N ) = 0 <-> ( N / N ) e. ZZ ) )
10	9	3anidm12 1295	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( N mod N ) = 0 <-> ( N / N ) e. ZZ ) )
11	8, 10	mpbird 167	1 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( N mod N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   RRcr 7806   0cc0 7807   1c1 7808   < clt 7987   / cdiv 8624   ZZcz 9248   QQcq 9614   mod cmo 10316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-q 9615  df-rp 9649  df-fl 10264  df-mod 10317

This theorem is referenced by:  modqm1p1mod0  10369  modqeqmodmin  10388