ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  msqznn Unicode version

Theorem msqznn 9102
Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
msqznn  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  NN )

Proof of Theorem msqznn
StepHypRef Expression
1 zmulcl 9058 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  A
)  e.  ZZ )
21anidms 392 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  x.  A )  e.  ZZ )
32adantr 272 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  ZZ )
4 0z 9016 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 zapne 9076 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0 ) )
64, 5mpan2 419 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0
) )
76pm5.32i 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A #  0 )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )
8 zre 9009 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
9 apsqgt0 8326 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A #  0 )  ->  0  <  ( A  x.  A
) )
108, 9sylan 279 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A #  0 )  ->  0  <  ( A  x.  A
) )
117, 10sylbir 134 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
12 elnnz 9015 . 2  |-  ( ( A  x.  A )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  x.  A
) ) )
133, 11, 12sylanbrc 411 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    x. cmul 7589    < clt 7764   # cap 8306   NNcn 8677   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  qreccl  9383
  Copyright terms: Public domain W3C validator