ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  msqznn Unicode version

Theorem msqznn 9109
Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
msqznn  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  NN )

Proof of Theorem msqznn
StepHypRef Expression
1 zmulcl 9065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  A
)  e.  ZZ )
21anidms 394 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  x.  A )  e.  ZZ )
32adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  ZZ )
4 0z 9023 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 zapne 9083 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0 ) )
64, 5mpan2 421 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0
) )
76pm5.32i 449 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A #  0 )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )
8 zre 9016 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
9 apsqgt0 8330 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A #  0 )  ->  0  <  ( A  x.  A
) )
108, 9sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A #  0 )  ->  0  <  ( A  x.  A
) )
117, 10sylbir 134 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
12 elnnz 9022 . 2  |-  ( ( A  x.  A )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  x.  A
) ) )
133, 11, 12sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  A
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    x. cmul 7593    < clt 7768   # cap 8310   NNcn 8684   ZZcz 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013
This theorem is referenced by:  qreccl  9390
  Copyright terms: Public domain W3C validator