Theorem msqznn 9264

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
msqznn	|- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( A x. A ) e. NN )

Proof of Theorem msqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9220	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( A x. A ) e. ZZ )
2	1	anidms 395	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A x. A ) e. ZZ )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( A x. A ) e. ZZ )
4		0z 9178	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
5		zapne 9238	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
6	4, 5	mpan2 422	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
7	6	pm5.32i 450	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ A # 0 ) <-> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
8		zre 9171	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
9		apsqgt0 8476	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )
10	8, 9	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ A # 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )
11	7, 10	sylbir 134	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> 0 < ( A x. A ) )
12		elnnz 9177	. 2 |- ( ( A x. A ) e. NN <-> ( ( A x. A ) e. ZZ /\ 0 < ( A x. A ) ) )
13	3, 11, 12	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( A x. A ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732   x. cmul 7737   < clt 7912   # cap 8456   NNcn 8833   ZZcz 9167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168

This theorem is referenced by:  qreccl  9551