Theorem qreccl 9974

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8220	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 8864	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 9020	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) = 0
4		0z 9588	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 9248	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 9956	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 0 / 1 ) e. QQ )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2306	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 9971	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
10	8, 9	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
11	10	biimpar 297	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> A # 0 )
12		elq 9954	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		nnne0 9265	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
14	13	ancli 323	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. NN /\ y =/= 0 ) )
15		nnz 9596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		zapne 9652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
17	15, 4, 16	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
19	18	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) <-> ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) )
20	19	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) <-> ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) )
21		breq1 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
22		zcn 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		nncn 9245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. CC )
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
25		divap0b 8957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
26	25	3expa 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
27	24, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
28	27	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( ( x / y ) # 0 <-> x # 0 ) )
29	21, 28	sylan9bbr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
30	20, 29	sylbir 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
31		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
32		zapne 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
34	30, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x =/= 0 ) )
35		zmulcl 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
36	15, 35	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
38		msqznn 9678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
39	38	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
40	37, 39	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
42	41	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
43	20	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) )
44	33	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
45	43, 44	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
46		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( x / y ) -> ( 1 / A ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
47		dividap 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x / x ) = 1 )
49	48	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
50		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> x e. CC )
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
53		divdivdivap 8987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( x e. CC /\ x # 0 ) ) /\ ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
55	49, 54	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
56	55	an4s 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
57	24, 56	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
58	57	anass1rs 573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
59	46, 58	sylan9eqr 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
60	59	an32s 570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
61	45, 60	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
62	42, 61	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x =/= 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
65	64	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
66	65	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ ( y e. NN /\ y =/= 0 ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
67	14, 66	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
68		rspceov 6093	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
69	68	3expa 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
70		elq 9954	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / A ) e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
71	69, 70	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) ) )
73	72	rexlimivv 2666	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
74	12, 73	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
75	74	imp 124	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
76	11, 75	syldan 282	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   NNcn 9237   ZZcz 9577   QQcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  qdivcl  9975  qexpclz  10922