Theorem qreccl 9601

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7867	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 8509	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 8663	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) = 0
4		0z 9223	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 8889	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 9583	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 0 / 1 ) e. QQ )
7	4, 5, 6	mp2an 424	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2244	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 9598	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
10	8, 9	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
11	10	biimpar 295	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> A # 0 )
12		elq 9581	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		nnne0 8906	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
14	13	ancli 321	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. NN /\ y =/= 0 ) )
15		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		zapne 9286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
17	15, 4, 16	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
19	18	pm5.32i 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) <-> ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) )
20	19	anbi1i 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) <-> ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) )
21		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
22		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		nncn 8886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. CC )
24	22, 23	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
25		divap0b 8600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
26	25	3expa 1198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
27	24, 26	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
28	27	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( ( x / y ) # 0 <-> x # 0 ) )
29	21, 28	sylan9bbr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
30	20, 29	sylbir 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
31		simplll 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
32		zapne 9286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	sylancl 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
34	30, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x =/= 0 ) )
35		zmulcl 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
36	15, 35	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
38		msqznn 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
39	38	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
40	37, 39	jca 304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
41	40	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
42	41	adantlr 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
43	20	anbi1i 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) )
44	33	pm5.32i 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
45	43, 44	bitri 183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
46		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( x / y ) -> ( 1 / A ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
47		dividap 8618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x / x ) = 1 )
49	48	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
50		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> x e. CC )
51		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
52		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
53		divdivdivap 8630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( x e. CC /\ x # 0 ) ) /\ ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
55	49, 54	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
56	55	an4s 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
57	24, 56	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
58	57	anass1rs 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
59	46, 58	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
60	59	an32s 563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
61	45, 60	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
62	42, 61	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) )
63	62	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x =/= 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
65	64	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
66	65	anasss 397	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ ( y e. NN /\ y =/= 0 ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
67	14, 66	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
68		rspceov 5895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
69	68	3expa 1198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
70		elq 9581	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / A ) e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
71	69, 70	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) ) )
73	72	rexlimivv 2593	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
74	12, 73	sylbi 120	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
75	74	imp 123	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
76	11, 75	syldan 280	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   ZZcz 9212   QQcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  qdivcl  9602  qexpclz  10497