Theorem qreccl 9644

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7906	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 8549	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 8705	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) = 0
4		0z 9266	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 8932	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 9626	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 0 / 1 ) e. QQ )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2251	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 9641	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
10	8, 9	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
11	10	biimpar 297	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> A # 0 )
12		elq 9624	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		nnne0 8949	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
14	13	ancli 323	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. NN /\ y =/= 0 ) )
15		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		zapne 9329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
17	15, 4, 16	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
19	18	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) <-> ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) )
20	19	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) <-> ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) )
21		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
22		zcn 9260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		nncn 8929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. CC )
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
25		divap0b 8642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
26	25	3expa 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
27	24, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
28	27	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( ( x / y ) # 0 <-> x # 0 ) )
29	21, 28	sylan9bbr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
30	20, 29	sylbir 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
31		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
32		zapne 9329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
34	30, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x =/= 0 ) )
35		zmulcl 9308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
36	15, 35	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
38		msqznn 9355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
39	38	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
40	37, 39	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
42	41	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
43	20	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) )
44	33	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
45	43, 44	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
46		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( x / y ) -> ( 1 / A ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
47		dividap 8660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x / x ) = 1 )
49	48	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
50		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> x e. CC )
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
53		divdivdivap 8672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( x e. CC /\ x # 0 ) ) /\ ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
55	49, 54	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
56	55	an4s 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
57	24, 56	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
58	57	anass1rs 571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
59	46, 58	sylan9eqr 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
60	59	an32s 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
61	45, 60	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
62	42, 61	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x =/= 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
65	64	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
66	65	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ ( y e. NN /\ y =/= 0 ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
67	14, 66	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
68		rspceov 5919	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
69	68	3expa 1203	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
70		elq 9624	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / A ) e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
71	69, 70	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) ) )
73	72	rexlimivv 2600	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
74	12, 73	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
75	74	imp 124	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
76	11, 75	syldan 282	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   ZZcz 9255   QQcq 9621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622

This theorem is referenced by:  qdivcl  9645  qexpclz  10543