Theorem qreccl 10042

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8272	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 8918	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 9076	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) = 0
4		0z 9655	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 9315	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 10024	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 0 / 1 ) e. QQ )
7	4, 5, 6	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2312	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 10039	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
10	8, 9	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
11	10	biimpar 297	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> A # 0 )
12		elq 10022	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		nnne0 9332	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
14	13	ancli 323	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. NN /\ y =/= 0 ) )
15		nnz 9663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		zapne 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
17	15, 4, 16	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
19	18	pm5.32i 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) <-> ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) )
20	19	anbi1i 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) <-> ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) )
21		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
22		zcn 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		nncn 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. CC )
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
25		divap0b 9013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
26	25	3expa 1234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
27	24, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
28	27	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( ( x / y ) # 0 <-> x # 0 ) )
29	21, 28	sylan9bbr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
30	20, 29	sylbir 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
31		simplll 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
32		zapne 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
34	30, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x =/= 0 ) )
35		zmulcl 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
36	15, 35	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
38		msqznn 9746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
39	38	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
40	37, 39	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
41	40	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
42	41	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
43	20	anbi1i 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) )
44	33	pm5.32i 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
45	43, 44	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
46		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( x / y ) -> ( 1 / A ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
47		dividap 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x / x ) = 1 )
49	48	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
50		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> x e. CC )
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
53		divdivdivap 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( x e. CC /\ x # 0 ) ) /\ ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
55	49, 54	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
56	55	an4s 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
57	24, 56	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
58	57	anass1rs 577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
59	46, 58	sylan9eqr 2293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
60	59	an32s 574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
61	45, 60	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
62	42, 61	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x =/= 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
65	64	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
66	65	anasss 403	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ ( y e. NN /\ y =/= 0 ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
67	14, 66	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
68		rspceov 6128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
69	68	3expa 1234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
70		elq 10022	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / A ) e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
71	69, 70	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) ) )
73	72	rexlimivv 2674	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
74	12, 73	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
75	74	imp 124	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
76	11, 75	syldan 282	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   ZZcz 9644   QQcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  qdivcl  10043  qexpclz  10997