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Theorem qreccl 9580
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7846 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 1ap0 8488 . . . . . 6  |-  1 #  0
31, 2div0api 8642 . . . . 5  |-  ( 0  /  1 )  =  0
4 0z 9202 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 1nn 8868 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
6 znq 9562 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 0  /  1
)  e.  QQ )
74, 5, 6mp2an 423 . . . . 5  |-  ( 0  /  1 )  e.  QQ
83, 7eqeltrri 2240 . . . 4  |-  0  e.  QQ
9 qapne 9577 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0 ) )
108, 9mpan2 422 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A #  0  <->  A  =/=  0
) )
1110biimpar 295 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  ->  A #  0 )
12 elq 9560 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
13 nnne0 8885 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1413ancli 321 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )
15 nnz 9210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
16 zapne 9265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( y #  0  <->  y  =/=  0 ) )
1715, 4, 16sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y #  0  <->  y  =/=  0 ) )
1817adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y #  0  <->  y  =/=  0 ) )
1918pm5.32i 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  <-> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 ) )
2019anbi1i 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  <->  ( (
( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  /\  A  =  ( x  /  y
) ) )
21 breq1 3985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  0  <->  ( x  / 
y ) #  0 ) )
22 zcn 9196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
23 nncn 8865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2422, 23anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
25 divap0b 8579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y #  0 )  ->  (
x #  0  <->  ( x  /  y ) #  0 ) )
26253expa 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  y #  0 )  ->  ( x #  0  <-> 
( x  /  y
) #  0 ) )
2724, 26sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  ->  ( x #  0  <-> 
( x  /  y
) #  0 ) )
2827bicomd 140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  ->  ( ( x  /  y ) #  0  <-> 
x #  0 ) )
2921, 28sylan9bbr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A #  0  <->  x #  0 ) )
3020, 29sylbir 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A #  0  <->  x #  0 ) )
31 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  ->  x  e.  ZZ )
32 zapne 9265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
3331, 4, 32sylancl 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x #  0  <->  x  =/=  0 ) )
3430, 33bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A #  0  <->  x  =/=  0 ) )
35 zmulcl 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3615, 35sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3736adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
38 msqznn 9291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  x.  x
)  e.  NN )
3938adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  x )  e.  NN )
4037, 39jca 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( (
x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN ) )
4140adantlr 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
4241adantlr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
4320anbi1i 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x #  0 )  <->  ( (
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x #  0 ) )
4433pm5.32i 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x #  0 )  <->  ( (
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 ) )
4543, 44bitri 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x #  0 )  <->  ( (
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 ) )
46 oveq2 5850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
1  /  A )  =  ( 1  / 
( x  /  y
) ) )
47 dividap 8597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
x  /  x )  =  1 )
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  /  x )  =  1 )
4948oveq1d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( ( x  /  x )  / 
( x  /  y
) )  =  ( 1  /  ( x  /  y ) ) )
50 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  x  e.  CC )
51 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
53 divdivdivap 8609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )  /\  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  x )  / 
( x  /  y
) )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )
5450, 51, 51, 52, 53syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( ( x  /  x )  / 
( x  /  y
) )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )
5549, 54eqtr3d 2200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( 1  / 
( x  /  y
) )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )
5655an4s 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( x #  0  /\  y #  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  (
x  x.  x ) ) )
5724, 56sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( x #  0  /\  y #  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  (
x  x.  x ) ) )
5857anass1rs 561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
5946, 58sylan9eqr 2221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  x #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
6059an32s 558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y #  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
6145, 60sylbir 134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
6242, 61jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) )
6362ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
6434, 63sylbid 149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A #  0  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
6564ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  0  ->  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
6665anasss 397 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  0  ->  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
6714, 66sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A #  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN )  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
68 rspceov 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  (
1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
69683expa 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
70 elq 9560 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  A )  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
7169, 70sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ )
7267, 71syl8 71 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A #  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) ) )
7372rexlimivv 2589 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A #  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) )
7412, 73sylbi 120 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A #  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) )
7574imp 123 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A #  0 )  ->  (
1  /  A )  e.  QQ )
7611, 75syldan 280 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1343    e. wcel 2136    =/= wne 2336   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754    x. cmul 7758   # cap 8479    / cdiv 8568   NNcn 8857   ZZcz 9191   QQcq 9557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558
This theorem is referenced by:  qdivcl  9581  qexpclz  10476
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