Theorem zapne 9118

Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zapne	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M # N <-> M =/= N ) )

Proof of Theorem zapne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9052	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9052	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		apne 8378	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M # N -> M =/= N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M # N -> M =/= N ) )
5		df-ne 2307	. . 3 |- ( M =/= N <-> -. M = N )
6		ztri3or 9090	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
7		3orrot 968	. . . . . . 7 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( M = N \/ N < M \/ M < N ) )
8		3orass 965	. . . . . . 7 |- ( ( M = N \/ N < M \/ M < N ) <-> ( M = N \/ ( N < M \/ M < N ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( M = N \/ ( N < M \/ M < N ) ) )
10	6, 9	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N \/ ( N < M \/ M < N ) ) )
11	10	ord 713	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = N -> ( N < M \/ M < N ) ) )
12		zre 9051	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
13		zre 9051	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		reaplt 8343	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M # N <-> ( M < N \/ N < M ) ) )
15		orcom 717	. . . . . 6 |- ( ( M < N \/ N < M ) <-> ( N < M \/ M < N ) )
16	14, 15	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M # N <-> ( N < M \/ M < N ) ) )
17	12, 13, 16	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M # N <-> ( N < M \/ M < N ) ) )
18	11, 17	sylibrd 168	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = N -> M # N ) )
19	5, 18	syl5bi 151	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M =/= N -> M # N ) )
20	4, 19	impbid 128	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M # N <-> M =/= N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   class class class wbr 3924   CCcc 7611   RRcr 7612   < clt 7793   # cap 8336   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  zltlen  9122  msqznn  9144  qapne  9424  qreccl  9427  nn0opthd  10461  fihashneq0  10534  nnabscl  10865  eftcl  11349  dvdsval2  11485  dvdscmulr  11511  dvdsmulcr  11512  divconjdvds  11536  gcdn0gt0  11655  lcmcllem  11737  lcmid  11750  3lcm2e6woprm  11756  6lcm4e12  11757  mulgcddvds  11764  divgcdcoprmex  11772  cncongr1  11773  cncongr2  11774  isprm3  11788