ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zapne Unicode version

Theorem zapne 9326
Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zapne  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )

Proof of Theorem zapne
StepHypRef Expression
1 zcn 9257 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 9257 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 apne 8579 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
5 df-ne 2348 . . 3  |-  ( M  =/=  N  <->  -.  M  =  N )
6 ztri3or 9295 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
7 3orrot 984 . . . . . . 7  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  < 
N ) )
8 3orass 981 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  <  N )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
97, 8bitri 184 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
106, 9sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  \/  ( N  < 
M  \/  M  < 
N ) ) )
1110ord 724 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
12 zre 9256 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 9256 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 reaplt 8544 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( M  <  N  \/  N  < 
M ) ) )
15 orcom 728 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  N  <  M )  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) )
1614, 15bitrdi 196 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1712, 13, 16syl2an 289 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1811, 17sylibrd 169 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  M #  N
) )
195, 18biimtrid 152 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =/=  N  ->  M #  N ) )
204, 19impbid 129 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4003   CCcc 7808   RRcr 7809    < clt 7991   # cap 8537   ZZcz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253
This theorem is referenced by:  zltlen  9330  msqznn  9352  qapne  9638  qreccl  9641  nn0opthd  10701  fihashneq0  10773  nnabscl  11108  eftcl  11661  dvdsval2  11796  dvdscmulr  11826  dvdsmulcr  11827  divconjdvds  11854  gcdn0gt0  11978  lcmcllem  12066  lcmid  12079  3lcm2e6woprm  12085  6lcm4e12  12086  mulgcddvds  12093  divgcdcoprmex  12101  cncongr1  12102  cncongr2  12103  isprm3  12117  pcpremul  12292  pceu  12294  pcmul  12300  pcdiv  12301  pcqmul  12302  dvdsprmpweqle  12335  qexpz  12349  relogbval  14305  relogbzcl  14306  nnlogbexp  14313  logbgcd1irraplemexp  14322  lgslem1  14337  lgsdilem2  14373  lgsdi  14374  lgsne0  14375
  Copyright terms: Public domain W3C validator