ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zapne Unicode version

Theorem zapne 9233
Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zapne  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )

Proof of Theorem zapne
StepHypRef Expression
1 zcn 9167 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 9167 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 apne 8493 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
5 df-ne 2328 . . 3  |-  ( M  =/=  N  <->  -.  M  =  N )
6 ztri3or 9205 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
7 3orrot 969 . . . . . . 7  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  < 
N ) )
8 3orass 966 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  <  N )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
97, 8bitri 183 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
106, 9sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  \/  ( N  < 
M  \/  M  < 
N ) ) )
1110ord 714 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
12 zre 9166 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 9166 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 reaplt 8458 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( M  <  N  \/  N  < 
M ) ) )
15 orcom 718 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  N  <  M )  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) )
1614, 15bitrdi 195 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1712, 13, 16syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1811, 17sylibrd 168 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  M #  N
) )
195, 18syl5bi 151 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =/=  N  ->  M #  N ) )
204, 19impbid 128 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    \/ w3o 962    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   class class class wbr 3965   CCcc 7725   RRcr 7726    < clt 7907   # cap 8451   ZZcz 9162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163
This theorem is referenced by:  zltlen  9237  msqznn  9259  qapne  9543  qreccl  9546  nn0opthd  10591  fihashneq0  10664  nnabscl  10995  eftcl  11546  dvdsval2  11681  dvdscmulr  11710  dvdsmulcr  11711  divconjdvds  11735  gcdn0gt0  11856  lcmcllem  11938  lcmid  11951  3lcm2e6woprm  11957  6lcm4e12  11958  mulgcddvds  11965  divgcdcoprmex  11973  cncongr1  11974  cncongr2  11975  isprm3  11989  relogbval  13255  relogbzcl  13256  nnlogbexp  13263  logbgcd1irraplemexp  13272
  Copyright terms: Public domain W3C validator