ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zapne Unicode version

Theorem zapne 8791
Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zapne  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )

Proof of Theorem zapne
StepHypRef Expression
1 zcn 8725 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 8725 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 apne 8076 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
5 df-ne 2256 . . 3  |-  ( M  =/=  N  <->  -.  M  =  N )
6 ztri3or 8763 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
7 3orrot 930 . . . . . . 7  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  < 
N ) )
8 3orass 927 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  <  N )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
97, 8bitri 182 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
106, 9sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  \/  ( N  < 
M  \/  M  < 
N ) ) )
1110ord 678 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
12 zre 8724 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 8724 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 reaplt 8041 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( M  <  N  \/  N  < 
M ) ) )
15 orcom 682 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  N  <  M )  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) )
1614, 15syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1712, 13, 16syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1811, 17sylibrd 167 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  M #  N
) )
195, 18syl5bi 150 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =/=  N  ->  M #  N ) )
204, 19impbid 127 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3837   CCcc 7327   RRcr 7328    < clt 7501   # cap 8034   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  zltlen  8795  msqznn  8816  qapne  9093  qreccl  9096  nn0opthd  10095  fihashneq0  10168  nnabscl  10498  dvdsval2  10892  dvdscmulr  10918  dvdsmulcr  10919  divconjdvds  10943  gcdn0gt0  11062  lcmcllem  11142  lcmid  11155  3lcm2e6woprm  11161  6lcm4e12  11162  mulgcddvds  11169  divgcdcoprmex  11177  cncongr1  11178  cncongr2  11179  isprm3  11193
  Copyright terms: Public domain W3C validator