Theorem msqznn 8907

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
msqznn	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem msqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 8864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
2	1	anidms 390	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
3	2	adantr 271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
4		0z 8822	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zapne 8882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	4, 5	mpan2 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
7	6	pm5.32i 443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8		zre 8815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		apsqgt0 8139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
10	8, 9	sylan 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
11	7, 10	sylbir 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
12		elnnz 8821	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
13	3, 11, 12	sylanbrc 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1439   ≠ wne 2256   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  0cc0 7411   · cmul 7416   < clt 7583   # cap 8119  ℕcn 8483  ℤcz 8811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812

This theorem is referenced by:  qreccl  9188