Theorem msqznn 9725

Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
msqznn	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem msqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
2	1	anidms 401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
4		0z 9634	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zapne 9698	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	4, 5	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
7	6	pm5.32i 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8		zre 9627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		apsqgt0 8919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
10	8, 9	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
11	7, 10	sylbir 135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
12		elnnz 9633	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
13	3, 11, 12	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169   · cmul 8174   < clt 8350   # cap 8899  ℕcn 9283  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  qreccl  10021