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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulcomprg | Unicode version |
Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.) |
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mulcomprg |
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1 | prop 7477 |
. . . . . . . . 9
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2 | elprnql 7483 |
. . . . . . . . 9
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3 | 1, 2 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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4 | prop 7477 |
. . . . . . . . . . . . 13
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5 | elprnql 7483 |
. . . . . . . . . . . . 13
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6 | 4, 5 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | mulcomnqg 7385 |
. . . . . . . . . . . . 13
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8 | 7 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 6, 8 | sylan2 286 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | 9 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 10 | rexbidva 2474 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ancoms 268 |
. . . . . . . 8
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13 | 3, 12 | sylan2 286 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | anassrs 400 |
. . . . . 6
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15 | 14 | rexbidva 2474 |
. . . . 5
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16 | rexcom 2641 |
. . . . 5
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17 | 15, 16 | bitrdi 196 |
. . . 4
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18 | 17 | rabbidv 2728 |
. . 3
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19 | elprnqu 7484 |
. . . . . . . . 9
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20 | 1, 19 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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21 | elprnqu 7484 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 4, 21 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22, 8 | sylan2 286 |
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24 | 23 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | rexbidva 2474 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | ancoms 268 |
. . . . . . . 8
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27 | 20, 26 | sylan2 286 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | anassrs 400 |
. . . . . 6
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29 | 28 | rexbidva 2474 |
. . . . 5
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30 | rexcom 2641 |
. . . . 5
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31 | 29, 30 | bitrdi 196 |
. . . 4
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32 | 31 | rabbidv 2728 |
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33 | 18, 32 | opeq12d 3788 |
. 2
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34 | mpvlu 7541 |
. . 3
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35 | 34 | ancoms 268 |
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36 | mpvlu 7541 |
. 2
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37 | 33, 35, 36 | 3eqtr4rd 2221 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-irdg 6374 df-oadd 6424 df-omul 6425 df-er 6538 df-ec 6540 df-qs 6544 df-ni 7306 df-mi 7308 df-mpq 7347 df-enq 7349 df-nqqs 7350 df-mqqs 7352 df-inp 7468 df-imp 7471 |
This theorem is referenced by: ltmprr 7644 mulcmpblnrlemg 7742 mulcomsrg 7759 mulasssrg 7760 m1m1sr 7763 recexgt0sr 7775 mulgt0sr 7780 mulextsr1lem 7782 recidpirqlemcalc 7859 |
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