Theorem nnmass 6383

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
2		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
3	2	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2154	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
6		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) )
7		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
8	7	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2154	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) )
10		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) )
11		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
12	11	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2154	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) )
14		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) )
15		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
16	15	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2154	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
18		nnmcl 6377	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
19		nnm0 6371	. . . . . . 7 |- ( ( A .o B ) e. om -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
21		nnm0 6371	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
22	21	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) )
23		nnm0 6371	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	sylan9eqr 2194	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) )
25	20, 24	eqtr4d 2175	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
26		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
27		nnmsuc 6373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o B ) e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
28	18, 27	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
29	28	3impa 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
30		nnmsuc 6373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
31	30	3adant1 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		nnmcl 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o y ) e. om )
34		nndi 6382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. om /\ ( B .o y ) e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
35	33, 34	syl3an2 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ y e. om ) /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
36	35	3exp 1180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
37	36	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
40	39	3imp 1175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
41	32, 40	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
42	29, 41	eqeq12d 2154	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) )
43	26, 42	syl5ibr 155	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
44	43	3exp 1180	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
45	44	com3r 79	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
46	45	impd 252	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) )
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4515	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
48	5, 47	vtoclga 2752	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
49	48	expdcom 1418	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
50	49	3imp 1175	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3363   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774   +o coa 6310   .o comu 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318

This theorem is referenced by:  mulasspig  7140  enq0tr  7242  addcmpblnq0  7251  mulcmpblnq0  7252  mulcanenq0ec  7253  distrnq0  7267  addassnq0  7270