Theorem nnmass 6466

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
2		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
3	2	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
6		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) )
7		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
8	7	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) )
10		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) )
11		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
12	11	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) )
14		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) )
15		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
16	15	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
18		nnmcl 6460	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
19		nnm0 6454	. . . . . . 7 |- ( ( A .o B ) e. om -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
21		nnm0 6454	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
22	21	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) )
23		nnm0 6454	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	sylan9eqr 2225	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) )
25	20, 24	eqtr4d 2206	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
26		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
27		nnmsuc 6456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o B ) e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
28	18, 27	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
29	28	3impa 1189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
30		nnmsuc 6456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
31	30	3adant1 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o y ) e. om )
34		nndi 6465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. om /\ ( B .o y ) e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
35	33, 34	syl3an2 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ y e. om ) /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
36	35	3exp 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
37	36	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
40	39	3imp 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
41	32, 40	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
42	29, 41	eqeq12d 2185	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) )
43	26, 42	syl5ibr 155	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
44	43	3exp 1197	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
45	44	com3r 79	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
46	45	impd 252	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) )
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4585	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
48	5, 47	vtoclga 2796	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
49	48	expdcom 1435	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
50	49	3imp 1188	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400

This theorem is referenced by:  mulasspig  7294  enq0tr  7396  addcmpblnq0  7405  mulcmpblnq0  7406  mulcanenq0ec  7407  distrnq0  7421  addassnq0  7424