Theorem nnmass 6750

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
2		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
3	2	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
6		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) )
7		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
8	7	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) )
10		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) )
11		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
12	11	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) )
14		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) )
15		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
16	15	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
18		nnmcl 6744	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
19		nnm0 6738	. . . . . . 7 |- ( ( A .o B ) e. om -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
21		nnm0 6738	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
22	21	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) )
23		nnm0 6738	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) )
25	20, 24	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
26		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
27		nnmsuc 6740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o B ) e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
28	18, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
29	28	3impa 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
30		nnmsuc 6740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
31	30	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		nnmcl 6744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o y ) e. om )
34		nndi 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. om /\ ( B .o y ) e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
35	33, 34	syl3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ y e. om ) /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
36	35	3exp 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
37	36	expd 258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
40	39	3imp 1224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
41	32, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
42	29, 41	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) )
43	26, 42	imbitrrid 156	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
44	43	3exp 1233	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
45	44	com3r 79	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
46	45	impd 254	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) )
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4743	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
48	5, 47	vtoclga 2889	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
49	48	expdcom 1492	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
50	49	3imp 1224	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   suc csuc 4505   omcom 4732  (class class class)co 6075   +o coa 6674   .o comu 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682

This theorem is referenced by:  mulasspig  7689  enq0tr  7791  addcmpblnq0  7800  mulcmpblnq0  7801  mulcanenq0ec  7802  distrnq0  7816  addassnq0  7819