Theorem nnmass 6455

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
2		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
3	2	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
6		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) )
7		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
8	7	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) )
10		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) )
11		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
12	11	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) )
14		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) )
15		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
16	15	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
18		nnmcl 6449	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
19		nnm0 6443	. . . . . . 7 |- ( ( A .o B ) e. om -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
21		nnm0 6443	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
22	21	oveq2d 5858	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) )
23		nnm0 6443	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	sylan9eqr 2221	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) )
25	20, 24	eqtr4d 2201	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
26		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
27		nnmsuc 6445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o B ) e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
28	18, 27	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
29	28	3impa 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
30		nnmsuc 6445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
31	30	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o y ) e. om )
34		nndi 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. om /\ ( B .o y ) e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
35	33, 34	syl3an2 1262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ y e. om ) /\ B e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
36	35	3exp 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
37	36	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( B e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
40	39	3imp 1183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
41	32, 40	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
42	29, 41	eqeq12d 2180	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) )
43	26, 42	syl5ibr 155	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
44	43	3exp 1192	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
45	44	com3r 79	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
46	45	impd 252	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) )
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4578	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
48	5, 47	vtoclga 2792	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
49	48	expdcom 1430	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
50	49	3imp 1183	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   +o coa 6381   .o comu 6382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389

This theorem is referenced by:  mulasspig  7273  enq0tr  7375  addcmpblnq0  7384  mulcmpblnq0  7385  mulcanenq0ec  7386  distrnq0  7400  addassnq0  7403