Theorem mulcmpblnq0 7443

Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq0	⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5884	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
2		nnmcl 6482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω)
3		mulpiord 7316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) = (𝐵 ·o 𝐺))
4		mulclpi 7327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
5	3, 4	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
6	2, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
7	6	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
8		nnmcl 6482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω)
9		mulpiord 7316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) = (𝐷 ·o 𝑆))
10		mulclpi 7327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
11	9, 10	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
12	8, 11	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
13	12	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
14	7, 13	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
15	14	an4s 588	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
16		enq0breq 7435	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
18		simplll 533	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ ω)
19		simprll 537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ ω)
20		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
21		pinn 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ N → 𝐷 ∈ ω)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ ω)
23		nnmcom 6490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
25		nnmass 6488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
27		simprrr 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
28		pinn 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ N → 𝑆 ∈ ω)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ ω)
30		nnmcl 6482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
32	18, 19, 22, 24, 26, 29, 31	caov4d 6059	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)))
33		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
34		pinn 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ ω)
36		simprlr 538	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
37		pinn 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ N → 𝐺 ∈ ω)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ ω)
39		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ ω)
40		simprrl 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ ω)
41	35, 38, 39, 24, 26, 40, 31	caov4d 6059	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
42	32, 41	eqeq12d 2192	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
43	17, 42	bitrd 188	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
44	1, 43	imbitrrid 156	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3596   class class class wbr 4004  ωcom 4590  (class class class)co 5875   ·_o comu 6415  Ncnpi 7271   ·_N cmi 7273   ~_Q0 ceq0 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423

This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7447