Theorem mulcmpblnq0 7805

Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq0	⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6088	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
2		nnmcl 6748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω)
3		mulpiord 7678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) = (𝐵 ·o 𝐺))
4		mulclpi 7689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
5	3, 4	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
6	2, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
7	6	an4s 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
8		nnmcl 6748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω)
9		mulpiord 7678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) = (𝐷 ·o 𝑆))
10		mulclpi 7689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
11	9, 10	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
12	8, 11	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
13	12	an4s 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
14	7, 13	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
15	14	an4s 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
16		enq0breq 7797	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
18		simplll 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ ω)
19		simprll 543	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ ω)
20		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
21		pinn 7670	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ N → 𝐷 ∈ ω)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ ω)
23		nnmcom 6756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
25		nnmass 6754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
27		simprrr 546	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
28		pinn 7670	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ N → 𝑆 ∈ ω)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ ω)
30		nnmcl 6748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
32	18, 19, 22, 24, 26, 29, 31	caov4d 6268	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)))
33		simpllr 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
34		pinn 7670	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ ω)
36		simprlr 544	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
37		pinn 7670	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ N → 𝐺 ∈ ω)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ ω)
39		simplrl 541	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ ω)
40		simprrl 545	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ ω)
41	35, 38, 39, 24, 26, 40, 31	caov4d 6268	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
42	32, 41	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
43	17, 42	bitrd 188	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
44	1, 43	imbitrrid 156	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  ωcom 4735  (class class class)co 6079   ·_o comu 6679  Ncnpi 7633   ·_N cmi 7635   ~_Q0 ceq0 7647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq0 7785

This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7809