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Theorem mulcmpblnq0 7434
Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq0 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5878 . 2 (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
2 nnmcl 6476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω)
3 mulpiord 7307 . . . . . . . . 9 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) = (𝐵 ·o 𝐺))
4 mulclpi 7318 . . . . . . . . 9 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
53, 4eqeltrrd 2255 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
62, 5anim12i 338 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) ∧ (𝐵N𝐺N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
76an4s 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
8 nnmcl 6476 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω)
9 mulpiord 7307 . . . . . . . . 9 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) = (𝐷 ·o 𝑆))
10 mulclpi 7318 . . . . . . . . 9 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
119, 10eqeltrrd 2255 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
128, 11anim12i 338 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) ∧ (𝐷N𝑆N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
1312an4s 588 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
147, 13anim12i 338 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N)) ∧ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
1514an4s 588 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
16 enq0breq 7426 . . . 4 ((((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
1715, 16syl 14 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
18 simplll 533 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐴 ∈ ω)
19 simprll 537 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐹 ∈ ω)
20 simplrr 536 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐷N)
21 pinn 7299 . . . . . 6 (𝐷N𝐷 ∈ ω)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐷 ∈ ω)
23 nnmcom 6484 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
2423adantl 277 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
25 nnmass 6482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
2625adantl 277 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
27 simprrr 540 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑆N)
28 pinn 7299 . . . . . 6 (𝑆N𝑆 ∈ ω)
2927, 28syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑆 ∈ ω)
30 nnmcl 6476 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
3130adantl 277 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
3218, 19, 22, 24, 26, 29, 31caov4d 6053 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)))
33 simpllr 534 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐵N)
34 pinn 7299 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3533, 34syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐵 ∈ ω)
36 simprlr 538 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐺N)
37 pinn 7299 . . . . . 6 (𝐺N𝐺 ∈ ω)
3836, 37syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐺 ∈ ω)
39 simplrl 535 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐶 ∈ ω)
40 simprrl 539 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑅 ∈ ω)
4135, 38, 39, 24, 26, 40, 31caov4d 6053 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
4232, 41eqeq12d 2192 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
4317, 42bitrd 188 . 2 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
441, 43syl5ibr 156 1 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3594   class class class wbr 4000  ωcom 4586  (class class class)co 5869   ·o comu 6409  Ncnpi 7262   ·N cmi 7264   ~Q0 ceq0 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq0 7414
This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7438
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