Theorem mulcmpblnq0 7511

Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq0	⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5931	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
2		nnmcl 6539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω)
3		mulpiord 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) = (𝐵 ·o 𝐺))
4		mulclpi 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
5	3, 4	eqeltrrd 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
6	2, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
7	6	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N))
8		nnmcl 6539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω)
9		mulpiord 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) = (𝐷 ·o 𝑆))
10		mulclpi 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
11	9, 10	eqeltrrd 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
12	8, 11	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
13	12	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N))
14	7, 13	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
15	14	an4s 588	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)))
16		enq0breq 7503	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·o 𝐹) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·o 𝑅) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅))))
18		simplll 533	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ ω)
19		simprll 537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ ω)
20		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
21		pinn 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ N → 𝐷 ∈ ω)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ ω)
23		nnmcom 6547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
25		nnmass 6545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
27		simprrr 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
28		pinn 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ N → 𝑆 ∈ ω)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ ω)
30		nnmcl 6539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
32	18, 19, 22, 24, 26, 29, 31	caov4d 6108	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)))
33		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
34		pinn 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ ω)
36		simprlr 538	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
37		pinn 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ N → 𝐺 ∈ ω)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ ω)
39		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ ω)
40		simprrl 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ ω)
41	35, 38, 39, 24, 26, 40, 31	caov4d 6108	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
42	32, 41	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
43	17, 42	bitrd 188	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
44	1, 43	imbitrrid 156	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·o 𝐹), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨(𝐶 ·o 𝑅), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ωcom 4626  (class class class)co 5922   ·_o comu 6472  Ncnpi 7339   ·_N cmi 7341   ~_Q0 ceq0 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq0 7491

This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7515