Theorem efimpi 13900

Description: The exponential function at _i times a real number less pi. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efimpi	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( A - pi ) ) ) = -u ( exp ` ( _i x. A ) ) )

Proof of Theorem efimpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 13868	. . . . 5 |- pi e. CC
2		subcl 8143	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
4		efival 11721	. . . 4 |- ( ( A - pi ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( A - pi ) ) ) = ( ( cos ` ( A - pi ) ) + ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( A - pi ) ) ) = ( ( cos ` ( A - pi ) ) + ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) ) )
6		coscl 11696	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
7		ax-icn 7894	. . . . . 6 |- _i e. CC
8		sincl 11695	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
9		mulcl 7926	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
11	6, 10	negdid 8268	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
12		cosmpi 13897	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( A - pi ) ) = -u ( cos ` A ) )
13		sinmpi 13896	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
14	13	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) = ( _i x. -u ( sin ` A ) ) )
15		mulneg2 8340	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
16	7, 8, 15	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
17	14, 16	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
18	12, 17	oveq12d 5887	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` ( A - pi ) ) + ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) ) = ( -u ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
19	11, 18	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` ( A - pi ) ) + ( _i x. ( sin ` ( A - pi ) ) ) ) )
20	5, 19	eqtr4d 2213	. 2 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( A - pi ) ) ) = -u ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
21		efival 11721	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
22	21	negeqd 8139	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( exp ` ( _i x. A ) ) = -u ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
23	20, 22	eqtr4d 2213	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( A - pi ) ) ) = -u ( exp ` ( _i x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7797   _ici 7801   + caddc 7802   x. cmul 7804   - cmin 8115   -ucneg 8116   expce 11631   sincsin 11633   cosccos 11634   picpi 11636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919  ax-pre-suploc 7920  ax-addf 7921  ax-mulf 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-5 8967  df-6 8968  df-7 8969  df-8 8970  df-9 8971  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-xneg 9756  df-xadd 9757  df-ioo 9876  df-ioc 9877  df-ico 9878  df-icc 9879  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-fac 10687  df-bc 10709  df-ihash 10737  df-shft 10805  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-clim 11268  df-sumdc 11343  df-ef 11637  df-sin 11639  df-cos 11640  df-pi 11642  df-rest 12635  df-topgen 12654  df-psmet 13147  df-xmet 13148  df-met 13149  df-bl 13150  df-mopn 13151  df-top 13156  df-topon 13169  df-bases 13201  df-ntr 13256  df-cn 13348  df-cnp 13349  df-tx 13413  df-cncf 13718  df-limced 13785  df-dvap 13786

This theorem is referenced by: (None)