Theorem efmival 11898

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efmival	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7974	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulneg12 8423	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
4	3	fveq2d 5562	. 2 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( exp ` ( _i x. -u A ) ) )
5		negcl 8226	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
6		efival 11897	. . . 4 |- ( -u A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) )
8		cosneg 11892	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( cos ` A ) )
9		sinneg 11891	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` -u A ) = -u ( sin ` A ) )
10	9	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( sin ` A ) ) )
11		sincl 11871	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
12		mulneg2 8422	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
13	1, 11, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
14	10, 13	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
15	8, 14	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) = ( ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
16		coscl 11872	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
17		mulcl 8006	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
18	1, 11, 17	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
19	16, 18	negsubd 8343	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
20	15, 19	eqtrd 2229	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
21	7, 20	eqtrd 2229	. 2 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
22	4, 21	eqtrd 2229	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   _ici 7881   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   -ucneg 8198   expce 11807   sincsin 11809   cosccos 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816

This theorem is referenced by:  sinadd  11901  cosadd  11902