Theorem efmival 11707

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efmival	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7881	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulneg12 8328	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) = ( _i x. -u A ) )
4	3	fveq2d 5511	. 2 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( exp ` ( _i x. -u A ) ) )
5		negcl 8131	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
6		efival 11706	. . . 4 |- ( -u A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) )
8		cosneg 11701	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` -u A ) = ( cos ` A ) )
9		sinneg 11700	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` -u A ) = -u ( sin ` A ) )
10	9	oveq2d 5881	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( sin ` A ) ) )
11		sincl 11680	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
12		mulneg2 8327	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
13	1, 11, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( sin ` A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
14	10, 13	eqtrd 2208	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( sin ` A ) ) )
15	8, 14	oveq12d 5883	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) = ( ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
16		coscl 11681	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
17		mulcl 7913	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
18	1, 11, 17	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
19	16, 18	negsubd 8248	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) + -u ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
20	15, 19	eqtrd 2208	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` -u A ) + ( _i x. ( sin ` -u A ) ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
21	7, 20	eqtrd 2208	. 2 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. -u A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
22	4, 21	eqtrd 2208	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   _ici 7788   + caddc 7789   x. cmul 7791   - cmin 8102   -ucneg 8103   expce 11616   sincsin 11618   cosccos 11619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625

This theorem is referenced by:  sinadd  11710  cosadd  11711