Theorem reneg 10891

Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reneg	|- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )

Proof of Theorem reneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10876	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8000	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7920	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10877	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8000	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7952	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negdid 8295	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		replim 10882	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
10	9	negeqd 8166	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A = -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
11		mulneg2 8367	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
12	3, 5, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	12	oveq2d 5904	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2230	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A = ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
15	14	fveq2d 5531	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = ( Re ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
16	1	renegcld 8351	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` A ) e. RR )
17	4	renegcld 8351	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
18		crre 10880	. . 3 |- ( ( -u ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Re ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Re ` A ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Re ` A ) )
20	15, 19	eqtrd 2220	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   _ici 7827   + caddc 7828   x. cmul 7830   -ucneg 8143   Recre 10863   Imcim 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-2 8992  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867

This theorem is referenced by:  resub  10893  cjneg  10913  renegi  10947  renegd  10977