ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reneg Unicode version

Theorem reneg 10633
Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
reneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )

Proof of Theorem reneg
StepHypRef Expression
1 recl 10618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 7787 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 7708 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 10619 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 7787 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 7740 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 410 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negdid 8079 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
9 replim 10624 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
109negeqd 7950 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  -u ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
11 mulneg2 8151 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
123, 5, 11sylancr 410 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1312oveq2d 5783 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
148, 10, 133eqtr4d 2180 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )
1514fveq2d 5418 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  ( Re `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) ) )
161renegcld 8135 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
174renegcld 8135 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
18 crre 10622 . . 3  |-  ( (
-u ( Re `  A )  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  = 
-u ( Re `  A ) )
1916, 17, 18syl2anc 408 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  -u ( Re `  A ) )
2015, 19eqtrd 2170 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   _ici 7615    + caddc 7616    x. cmul 7618   -ucneg 7927   Recre 10605   Imcim 10606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609
This theorem is referenced by:  resub  10635  cjneg  10655  renegi  10689  renegd  10719
  Copyright terms: Public domain W3C validator