![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulneg2 | GIF version |
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulneg2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulneg1 8347 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ) โ (-๐ต ยท ๐ด) = -(๐ต ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | ancoms 268 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ต ยท ๐ด) = -(๐ต ยท ๐ด)) |
3 | negcl 8152 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ -๐ต โ โ) | |
4 | mulcom 7936 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง -๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = (-๐ต ยท ๐ด)) | |
5 | 3, 4 | sylan2 286 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = (-๐ต ยท ๐ด)) |
6 | mulcom 7936 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
7 | 6 | negeqd 8147 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ -(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ต ยท ๐ด)) |
8 | 2, 5, 7 | 3eqtr4d 2220 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 (class class class)co 5871 โcc 7805 ยท cmul 7812 -cneg 8124 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4120 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-setind 4535 ax-resscn 7899 ax-1cn 7900 ax-icn 7902 ax-addcl 7903 ax-addrcl 7904 ax-mulcl 7905 ax-addcom 7907 ax-mulcom 7908 ax-addass 7909 ax-distr 7911 ax-i2m1 7912 ax-0id 7915 ax-rnegex 7916 ax-cnre 7918 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4003 df-opab 4064 df-id 4292 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-iota 5176 df-fun 5216 df-fv 5222 df-riota 5827 df-ov 5874 df-oprab 5875 df-mpo 5876 df-sub 8125 df-neg 8126 |
This theorem is referenced by: mulneg12 8349 submul2 8351 mulsub 8353 mulneg2i 8357 mulneg2d 8364 zmulcl 9301 binom2sub 10627 cjreb 10867 recj 10868 reneg 10869 imcj 10876 imneg 10877 ipcnval 10887 cjneg 10891 efexp 11682 efmival 11733 sinsub 11740 cossub 11741 odd2np1 11869 sinperlem 14091 efimpi 14102 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |