ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreb Unicode version
Theorem cjreb 10631
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 10618 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21recnd 7787 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 7708 . . . . . 6 |- _i e. CC
4 imcl 10619 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
54recnd 7787 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 7740 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
73, 5, 6sylancr 410 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
82, 7negsubd 8072 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9 mulneg2 8151 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
103, 5, 9sylancr 410 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
1110oveq2d 5783 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12 remim 10625 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2181 . . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14 replim 10624 . . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1513, 14eqeq12d 2152 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) = A <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
165negcld 8053 . . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 7740 . . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
183, 16, 17sylancr 410 . . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
192, 18, 7addcand 7939 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 eqcom 2139 . . . 4 |- ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) )
215eqnegd 8486 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2220, 21syl5bb 191 . . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
23 iap0 8936 . . . . . 6 |- _i # 0
243, 23pm3.2i 270 . . . . 5 |- ( _i e. CC /\ _i # 0 )
2524a1i 9 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i e. CC /\ _i # 0 ) )
26 mulcanap 8419 . . . 4 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC /\ ( _i e. CC /\ _i # 0 ) ) -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1216 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
28 reim0b 10627 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 219 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> A e. RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 214 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   _ici 7615   + caddc 7616   x. cmul 7618   - cmin 7926   -ucneg 7927   # cap 8336   *ccj 10604   Recre 10605   Imcim 10606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609
This theorem is referenced by:  cjre  10647  cjmulrcl  10652  cjrebi  10683  cjrebd  10711
  Copyright terms: Public domain W3C validator