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Theorem cjreb 10889
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 10876 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 8000 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 7920 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 10877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 8000 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 7952 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 414 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 8288 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 8367 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 414 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 5904 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 10883 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2231 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
14 replim 10882 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1513, 14eqeq12d 2202 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  A  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
165negcld 8269 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 7952 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) )  e.  CC )
183, 16, 17sylancr 414 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  e.  CC )
192, 18, 7addcand 8155 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  <-> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
20 eqcom 2189 . . . 4  |-  ( -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  -u ( Im `  A ) )
215eqnegd 8704 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2220, 21bitrid 192 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  =  ( Im
`  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
23 iap0 9156 . . . . . 6  |-  _i #  0
243, 23pm3.2i 272 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  e.  CC  /\  _i #  0 ) )
26 mulcanap 8636 . . . 4  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 ) )  ->  ( ( _i  x.  -u ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  <->  -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1248 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im
`  A )  =  ( Im `  A
) ) )
28 reim0b 10885 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 220 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  A  e.  RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 215 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   _ici 7827    + caddc 7828    x. cmul 7830    - cmin 8142   -ucneg 8143   # cap 8552   *ccj 10862   Recre 10863   Imcim 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-2 8992  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867
This theorem is referenced by:  cjre  10905  cjmulrcl  10910  cjrebi  10941  cjrebd  10969
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