Theorem mvrval2 15212

Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrfval.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrfval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mvrfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrfval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑌)
mvrval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
mvrval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mvrval2	⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋)‘𝐹) = if(𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝑊   𝑦,ℎ,𝐼   ℎ,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦, ℎ)   1 (𝑦, ℎ)   𝐹(𝑦, ℎ)   𝑉(𝑦, ℎ)   𝑊(ℎ)   𝑌(𝑦, ℎ)   0 (𝑦, ℎ)

Proof of Theorem mvrval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrfval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2		mvrfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		mvrfval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		mvrfval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		mvrfval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mvrfval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑌)
7		mvrval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mvrval 15211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 )))
9	8	fveq1d 5700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋)‘𝐹) = ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))‘𝐹))
10		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 )) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))
11		eqeq1 2245	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
12	11	ifbid 3662	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ) = if(𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))
13		mvrval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
14		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
15	14, 4	ringidvalg 14372	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑌 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
17		fn0g 13755	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
18	14	mgpex 14331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑌 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
20		funfvex 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 0g ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ dom 0g) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V)
21	20	funfni 5486	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ V) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V)
22	17, 19, 21	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V)
23	16, 22	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
24	6	elexd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
25		funfvex 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 0g ∧ 𝑅 ∈ dom 0g) → (0g‘𝑅) ∈ V)
26	25	funfni 5486	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (0g‘𝑅) ∈ V)
27	17, 24, 26	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
28	3, 27	eqeltrid 2325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	23, 28	ifexd 4632	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ) ∈ V)
30	10, 12, 13, 29	fvmptd3 5802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))‘𝐹) = if(𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))
31	9, 30	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋)‘𝐹) = if(𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ifcif 3638   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7027  0cc0 8186  1c1 8187  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  0_gc0g 13670  mulGrpcmgp 14325  1_rcur 14370   mVar cmvr 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-n0 9576  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-mvr 15159

This theorem is used by:  mvridfi  15213  mvrf1fi  15215