Theorem negexsr 8104

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	|- ( A e. R. -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8084	. . 3 |- -1R e. R.
2		mulclsr 8086	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R -1R ) e. R. )
4		pn0sr 8103	. 2 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
5		oveq2 6067	. . . 4 |- ( x = ( A .R -1R ) -> ( A +R x ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
6	5	eqeq1d 2243	. . 3 |- ( x = ( A .R -1R ) -> ( ( A +R x ) = 0R <-> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R ) )
7	6	rspcev 2923	. 2 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R ) -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )
8	3, 4, 7	syl2anc 411	1 |- ( A e. R. -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523  (class class class)co 6059   R.cnr 7629   0Rc0r 7630   -1Rcm1r 7632   +R cplr 7633   .R cmr 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-eprel 4416  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6781  df-ec 6783  df-qs 6787  df-ni 7636  df-pli 7637  df-mi 7638  df-lti 7639  df-plpq 7676  df-mpq 7677  df-enq 7679  df-nqqs 7680  df-plqqs 7681  df-mqqs 7682  df-1nqqs 7683  df-rq 7684  df-ltnqqs 7685  df-enq0 7756  df-nq0 7757  df-0nq0 7758  df-plq0 7759  df-mq0 7760  df-inp 7798  df-i1p 7799  df-iplp 7800  df-imp 7801  df-enr 8058  df-nr 8059  df-plr 8060  df-mr 8061  df-0r 8063  df-1r 8064  df-m1r 8065

This theorem is referenced by: (None)