Theorem negexsr 7713

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	|- ( A e. R. -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 7693	. . 3 |- -1R e. R.
2		mulclsr 7695	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
3	1, 2	mpan2 422	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R -1R ) e. R. )
4		pn0sr 7712	. 2 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
5		oveq2 5850	. . . 4 |- ( x = ( A .R -1R ) -> ( A +R x ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
6	5	eqeq1d 2174	. . 3 |- ( x = ( A .R -1R ) -> ( ( A +R x ) = 0R <-> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R ) )
7	6	rspcev 2830	. 2 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R ) -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )
8	3, 4, 7	syl2anc 409	1 |- ( A e. R. -> E. x e. R. ( A +R x ) = 0R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   -1Rcm1r 7241   +R cplr 7242   .R cmr 7243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by: (None)