ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negexsr GIF version

Theorem negexsr 7602
Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
negexsr (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr
StepHypRef Expression
1 m1r 7582 . . 3 -1RR
2 mulclsr 7584 . . 3 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
31, 2mpan2 422 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4 pn0sr 7601 . 2 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5 oveq2 5788 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
65eqeq1d 2149 . . 3 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
76rspcev 2792 . 2 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
83, 4, 7syl2anc 409 1 (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418  (class class class)co 5780  Rcnr 7127  0Rc0r 7128  -1Rcm1r 7130   +R cplr 7131   ·R cmr 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-eprel 4217  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-iord 4294  df-on 4296  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-irdg 6273  df-1o 6319  df-2o 6320  df-oadd 6323  df-omul 6324  df-er 6435  df-ec 6437  df-qs 6441  df-ni 7134  df-pli 7135  df-mi 7136  df-lti 7137  df-plpq 7174  df-mpq 7175  df-enq 7177  df-nqqs 7178  df-plqqs 7179  df-mqqs 7180  df-1nqqs 7181  df-rq 7182  df-ltnqqs 7183  df-enq0 7254  df-nq0 7255  df-0nq0 7256  df-plq0 7257  df-mq0 7258  df-inp 7296  df-i1p 7297  df-iplp 7298  df-imp 7299  df-enr 7556  df-nr 7557  df-plr 7558  df-mr 7559  df-0r 7561  df-1r 7562  df-m1r 7563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator