Theorem negexsr 8087

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8067	. . 3 ⊢ -1R ∈ R
2		mulclsr 8069	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4		pn0sr 8086	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5		oveq2 6058	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	eqeq1d 2241	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
7	6	rspcev 2921	. 2 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
8	3, 4, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  (class class class)co 6050  Rcnr 7612  0_Rc0r 7613  -1_Rcm1r 7615   +_R cplr 7616   ·_R cmr 7617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-imp 7784  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-mr 8044  df-0r 8046  df-1r 8047  df-m1r 8048

This theorem is referenced by: (None)