Theorem pn0sr 8131

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	|- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8112	. . . 4 |- -1R e. R.
2		1sr 8111	. . . 4 |- 1R e. R.
3		distrsrg 8119	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1370	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) )
5		m1p1sr 8120	. . . . 5 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
6	5	oveq2i 6089	. . . 4 |- ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( A .R 0R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( A .R 0R ) )
8		mulclsr 8114	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
9	1, 8	mpan2 429	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( A .R -1R ) e. R. )
10		mulclsr 8114	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( A .R 1R ) e. R. )
11	2, 10	mpan2 429	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( A .R 1R ) e. R. )
12		addcomsrg 8115	. . . 4 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ ( A .R 1R ) e. R. ) -> ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 |- ( A e. R. -> ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
15		00sr 8129	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
16		1idsr 8128	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R 1R ) = A )
17	16	oveq1d 6093	. 2 |- ( A e. R. -> ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
18	14, 15, 17	3eqtr3rd 2280	1 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   R.cnr 7657   0Rc0r 7658   1Rc1r 7659   -1Rcm1r 7660   +R cplr 7661   .R cmr 7662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-1o 6680  df-2o 6681  df-oadd 6684  df-omul 6685  df-er 6800  df-ec 6802  df-qs 6806  df-ni 7664  df-pli 7665  df-mi 7666  df-lti 7667  df-plpq 7704  df-mpq 7705  df-enq 7707  df-nqqs 7708  df-plqqs 7709  df-mqqs 7710  df-1nqqs 7711  df-rq 7712  df-ltnqqs 7713  df-enq0 7784  df-nq0 7785  df-0nq0 7786  df-plq0 7787  df-mq0 7788  df-inp 7826  df-i1p 7827  df-iplp 7828  df-imp 7829  df-enr 8086  df-nr 8087  df-plr 8088  df-mr 8089  df-0r 8091  df-1r 8092  df-m1r 8093

This theorem is referenced by:  negexsr  8132  caucvgsrlemoffval  8156  map2psrprg  8165  axrnegex  8239