Theorem pn0sr 8074

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	|- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8055	. . . 4 |- -1R e. R.
2		1sr 8054	. . . 4 |- 1R e. R.
3		distrsrg 8062	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1366	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) )
5		m1p1sr 8063	. . . . 5 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
6	5	oveq2i 6052	. . . 4 |- ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( A .R 0R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R ( -1R +R 1R ) ) = ( A .R 0R ) )
8		mulclsr 8057	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
9	1, 8	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( A .R -1R ) e. R. )
10		mulclsr 8057	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( A .R 1R ) e. R. )
11	2, 10	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( A .R 1R ) e. R. )
12		addcomsrg 8058	. . . 4 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ ( A .R 1R ) e. R. ) -> ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. R. -> ( ( A .R -1R ) +R ( A .R 1R ) ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2273	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
15		00sr 8072	. 2 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
16		1idsr 8071	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A .R 1R ) = A )
17	16	oveq1d 6056	. 2 |- ( A e. R. -> ( ( A .R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
18	14, 15, 17	3eqtr3rd 2274	1 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6041   R.cnr 7600   0Rc0r 7601   1Rc1r 7602   -1Rcm1r 7603   +R cplr 7604   .R cmr 7605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-eprel 4401  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-irdg 6592  df-1o 6638  df-2o 6639  df-oadd 6642  df-omul 6643  df-er 6758  df-ec 6760  df-qs 6764  df-ni 7607  df-pli 7608  df-mi 7609  df-lti 7610  df-plpq 7647  df-mpq 7648  df-enq 7650  df-nqqs 7651  df-plqqs 7652  df-mqqs 7653  df-1nqqs 7654  df-rq 7655  df-ltnqqs 7656  df-enq0 7727  df-nq0 7728  df-0nq0 7729  df-plq0 7730  df-mq0 7731  df-inp 7769  df-i1p 7770  df-iplp 7771  df-imp 7772  df-enr 8029  df-nr 8030  df-plr 8031  df-mr 8032  df-0r 8034  df-1r 8035  df-m1r 8036

This theorem is referenced by:  negexsr  8075  caucvgsrlemoffval  8099  map2psrprg  8108  axrnegex  8182