ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr Unicode version

Theorem pn0sr 7579
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7560 . . . 4  |-  -1R  e.  R.
2 1sr 7559 . . . 4  |-  1R  e.  R.
3 distrsrg 7567 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) ) )
41, 2, 3mp3an23 1307 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) ) )
5 m1p1sr 7568 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
65oveq2i 5785 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
76a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R ) )
8 mulclsr 7562 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
91, 8mpan2 421 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 mulclsr 7562 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  1R )  e.  R. )
112, 10mpan2 421 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  e. 
R. )
12 addcomsrg 7563 . . . 4  |-  ( ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  /\  ( A  .R  1R )  e. 
R. )  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
139, 11, 12syl2anc 408 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
144, 7, 133eqtr3d 2180 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
15 00sr 7577 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
16 1idsr 7576 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
1716oveq1d 5789 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
1814, 15, 173eqtr3rd 2181 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   1Rc1r 7107   -1Rcm1r 7108    +R cplr 7109    .R cmr 7110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-0r 7539  df-1r 7540  df-m1r 7541
This theorem is referenced by:  negexsr  7580  caucvgsrlemoffval  7604  map2psrprg  7613  axrnegex  7687
  Copyright terms: Public domain W3C validator