ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr Unicode version

Theorem pn0sr 7799
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7780 . . . 4  |-  -1R  e.  R.
2 1sr 7779 . . . 4  |-  1R  e.  R.
3 distrsrg 7787 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) ) )
41, 2, 3mp3an23 1340 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) ) )
5 m1p1sr 7788 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
65oveq2i 5906 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
76a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R ) )
8 mulclsr 7782 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
91, 8mpan2 425 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 mulclsr 7782 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  1R )  e.  R. )
112, 10mpan2 425 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  e. 
R. )
12 addcomsrg 7783 . . . 4  |-  ( ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  /\  ( A  .R  1R )  e. 
R. )  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
139, 11, 12syl2anc 411 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
144, 7, 133eqtr3d 2230 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
15 00sr 7797 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
16 1idsr 7796 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
1716oveq1d 5910 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
1814, 15, 173eqtr3rd 2231 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160  (class class class)co 5895   R.cnr 7325   0Rc0r 7326   1Rc1r 7327   -1Rcm1r 7328    +R cplr 7329    .R cmr 7330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-i1p 7495  df-iplp 7496  df-imp 7497  df-enr 7754  df-nr 7755  df-plr 7756  df-mr 7757  df-0r 7759  df-1r 7760  df-m1r 7761
This theorem is referenced by:  negexsr  7800  caucvgsrlemoffval  7824  map2psrprg  7833  axrnegex  7907
  Copyright terms: Public domain W3C validator