Theorem m1r 7972

Description: The constant -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
m1r	|- -1R e. R.

Proof of Theorem m1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7774	. . . 4 |- 1P e. P.
2		addclpr 7757	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		opelxpi 4757	. . . 4 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. ) )
5	1, 3, 4	mp2an 426	. . 3 |- <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. )
6		enrex 7957	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6758	. . 3 |- ( <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9		df-m1r 7953	. 2 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
10		df-nr 7947	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2313	1 |- -1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 2202   <.cop 3672   X. cxp 4723  (class class class)co 6018   [cec 6700   /.cqs 6701   P.cnp 7511   1Pc1p 7512   +P. cpp 7513   ~R cer 7516   R.cnr 7517   -1Rcm1r 7520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-enr 7946  df-nr 7947  df-m1r 7953

This theorem is referenced by:  pn0sr  7991  negexsr  7992  ltm1sr  7997  caucvgsrlemoffval  8016  caucvgsrlemofff  8017  caucvgsrlemoffres  8020  caucvgsr  8022  mappsrprg  8024  map2psrprg  8025  suplocsrlempr  8027  suplocsrlem  8028  mulcnsr  8055  mulresr  8058  mulcnsrec  8063  axmulcl  8086  axmulass  8093  axdistr  8094  axi2m1  8095  axrnegex  8099  axcnre  8101