Theorem m1r 7751

Description: The constant -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
m1r	|- -1R e. R.

Proof of Theorem m1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7553	. . . 4 |- 1P e. P.
2		addclpr 7536	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		opelxpi 4659	. . . 4 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. ) )
5	1, 3, 4	mp2an 426	. . 3 |- <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. )
6		enrex 7736	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6589	. . 3 |- ( <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9		df-m1r 7732	. 2 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
10		df-nr 7726	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2259	1 |- -1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 2148   <.cop 3596   X. cxp 4625  (class class class)co 5875   [cec 6533   /.cqs 6534   P.cnp 7290   1Pc1p 7291   +P. cpp 7292   ~R cer 7295   R.cnr 7296   -1Rcm1r 7299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-enr 7725  df-nr 7726  df-m1r 7732

This theorem is referenced by:  pn0sr  7770  negexsr  7771  ltm1sr  7776  caucvgsrlemoffval  7795  caucvgsrlemofff  7796  caucvgsrlemoffres  7799  caucvgsr  7801  mappsrprg  7803  map2psrprg  7804  suplocsrlempr  7806  suplocsrlem  7807  mulcnsr  7834  mulresr  7837  mulcnsrec  7842  axmulcl  7865  axmulass  7872  axdistr  7873  axi2m1  7874  axrnegex  7878  axcnre  7880