Theorem nn0ehalf 12544

Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ehalf	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9560	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		evend2 12530	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0ge0 9486	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
5		nn0re 9470	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		2re 9272	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
8		2pos 9293	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
10		ge0div 9110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
12	4, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N / 2 ) )
13	12	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N / 2 ) /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	13	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
15		elnn0z 9553	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
18	3, 17	sylbid 150	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
19	18	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   < clt 8273   <_ cle 8274   / cdiv 8911   2c2 9253   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   || cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  nnehalf  12545