Theorem nn0ehalf 11840

Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ehalf	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9211	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		evend2 11826	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0ge0 9139	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
5		nn0re 9123	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		2re 8927	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
8		2pos 8948	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
10		ge0div 8766	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
12	4, 11	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N / 2 ) )
13	12	anim1i 338	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N / 2 ) /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	13	ancomd 265	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
15		elnn0z 9204	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )
17	16	ex 114	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
18	3, 17	sylbid 149	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
19	18	imp 123	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   < clt 7933   <_ cle 7934   / cdiv 8568   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  nnehalf  11841