ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ehalf Unicode version

Theorem nn0ehalf 11527
Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ehalf  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  ||  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0ehalf
StepHypRef Expression
1 nn0z 9042 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 evend2 11513 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 
||  N  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
4 nn0ge0 8970 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
5 nn0re 8954 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6 2re 8758 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
8 2pos 8779 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <  2 )
10 ge0div 8597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  N  <->  0  <_  ( N  /  2 ) ) )
115, 7, 9, 10syl3anc 1201 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  0  <_  ( N  /  2 ) ) )
124, 11mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( N  /  2
) )
1312anim1i 338 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  2
)  /\  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1413ancomd 265 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  /  2
) ) )
15 elnn0z 9035 . . . . 5  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  /  2
) ) )
1614, 15sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  NN0 )
1716ex 114 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e. 
NN0 ) )
183, 17sylbid 149 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 
||  N  ->  ( N  /  2 )  e. 
NN0 ) )
1918imp 123 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  ||  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768    <_ cle 7769    / cdiv 8400   2c2 8739   NN0cn0 8945   ZZcz 9022    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  nnehalf  11528
  Copyright terms: Public domain W3C validator