Theorem nn0ehalf 12670

Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ehalf	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9664	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		evend2 12656	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0ge0 9588	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
5		nn0re 9572	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		2re 9374	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
8		2pos 9395	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
10		ge0div 9201	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
12	4, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N / 2 ) )
13	12	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N / 2 ) /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	13	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
15		elnn0z 9657	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
18	3, 17	sylbid 150	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
19	18	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   <_ cle 8361   / cdiv 9002   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  nnehalf  12671