Theorem nn0ehalf 11873

Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ehalf	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9244	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		evend2 11859	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0ge0 9172	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
5		nn0re 9156	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		2re 8960	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
8		2pos 8981	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
10		ge0div 8799	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / 2 ) ) )
12	4, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N / 2 ) )
13	12	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N / 2 ) /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	13	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
15		elnn0z 9237	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N / 2 ) ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
18	3, 17	sylbid 150	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N -> ( N / 2 ) e. NN0 ) )
19	18	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 || N ) -> ( N / 2 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   < clt 7966   <_ cle 7967   / cdiv 8601   2c2 8941   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   || cdvds 11760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-dvds 11761

This theorem is referenced by:  nnehalf  11874