ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0enne Unicode version

Theorem nn0enne 11610
Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0enne  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN0  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nn0enne
StepHypRef Expression
1 elnn0 8991 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( N  /  2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2 )  =  0 ) )
2 nncn 8740 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3 2cnd 8805 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
4 2ap0 8825 . . . . . . . . 9  |-  2 #  0
54a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2 #  0 )
62, 3, 5diveqap0ad 8572 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  =  0  <->  N  =  0 ) )
7 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
8 0nnn 8759 . . . . . . . . . 10  |-  -.  0  e.  NN
98pm2.21i 635 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN )
107, 9syl6bi 162 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1110com12 30 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
126, 11sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  =  0  -> 
( N  /  2
)  e.  NN ) )
1312com12 30 . . . . 5  |-  ( ( N  /  2 )  =  0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1413jao1i 785 . . . 4  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  =  0 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
151, 14sylbi 120 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
1615com12 30 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN0  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
17 nnnn0 8996 . 2  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e. 
NN0 )
1816, 17impbid1 141 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN0  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7632   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   NN0cn0 8989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990
This theorem is referenced by:  nnehalf  11612
  Copyright terms: Public domain W3C validator