Theorem nn0enne 11635

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9003	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) )
2		nncn 8752	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
3		2cnd 8817	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
4		2ap0 8837	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8584	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
7		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N e. NN <-> 0 e. NN ) )
8		0nnn 8771	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 e. NN
9	8	pm2.21i 636	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN -> ( N / 2 ) e. NN )
10	7, 9	syl6bi 162	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
11	10	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
12	6, 11	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
13	12	com12 30	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
14	13	jao1i 786	. . . 4 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
15	1, 14	sylbi 120	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
16	15	com12 30	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
17		nnnn0 9008	. 2 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN0 )
18	16, 17	impbid1 141	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   0cc0 7644   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nnehalf  11637