Theorem nn0enne 11909

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9180	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) )
2		nncn 8929	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
3		2cnd 8994	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
4		2ap0 9014	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8759	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
7		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N e. NN <-> 0 e. NN ) )
8		0nnn 8948	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 e. NN
9	8	pm2.21i 646	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN -> ( N / 2 ) e. NN )
10	7, 9	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
11	10	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
12	6, 11	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
13	12	com12 30	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
14	13	jao1i 796	. . . 4 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
15	1, 14	sylbi 121	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
16	15	com12 30	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
17		nnnn0 9185	. 2 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN0 )
18	16, 17	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  nnehalf  11911