Theorem nn0enne 12213

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9297	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) )
2		nncn 9044	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
3		2cnd 9109	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
4		2ap0 9129	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8873	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
7		eleq1 2268	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N e. NN <-> 0 e. NN ) )
8		0nnn 9063	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 e. NN
9	8	pm2.21i 647	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN -> ( N / 2 ) e. NN )
10	7, 9	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
11	10	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
12	6, 11	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
13	12	com12 30	. . . . 5 |- ( ( N / 2 ) = 0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
14	13	jao1i 798	. . . 4 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) = 0 ) -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
15	1, 14	sylbi 121	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
16	15	com12 30	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 -> ( N / 2 ) e. NN ) )
17		nnnn0 9302	. 2 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN0 )
18	16, 17	impbid1 142	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN0 <-> ( N / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   0cc0 7925   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nnehalf  12215