Theorem nn0ehalf 11448

Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ehalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0ehalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 8978	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		evend2 11434	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
4		nn0ge0 8906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		nn0re 8890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6		2re 8700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
8		2pos 8721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
10		ge0div 8539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
12	4, 11	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
13	12	anim1i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 / 2) ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	13	ancomd 265	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
15		elnn0z 8971	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
17	16	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
18	3, 17	sylbid 149	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
19	18	imp 123	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  ℝcr 7546  0cc0 7547   < clt 7724   ≤ cle 7725   / cdiv 8345  2c2 8681  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958   ∥ cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-dvds 11342

This theorem is referenced by:  nnehalf  11449