Theorem nn0lt2 9245

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	|- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 701	. . 3 |- ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
3		nn0z 9187	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		2z 9195	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
5		zltlem1 9224	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 410	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
7		2m1e1 8951	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	7	breq2i 3973	. . . . 5 |- ( N <_ ( 2 - 1 ) <-> N <_ 1 )
9	6, 8	bitrdi 195	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ 1 ) )
10		necom 2411	. . . . 5 |- ( N =/= 1 <-> 1 =/= N )
11		1z 9193	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
12		zltlen 9242	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
13	3, 11, 12	sylancl 410	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
14		nn0lt10b 9244	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> N = 0 )
16	15	orcd 723	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
17	16	ex 114	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
18	13, 17	sylbird 169	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
19	18	expd 256	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( 1 =/= N -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
20	10, 19	syl7bi 164	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
21	9, 20	sylbid 149	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
22	21	imp 123	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
23		zdceq 9239	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
24	3, 11, 23	sylancl 410	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 1 )
25	24	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> DECID N = 1 )
26		dcne 2338	. . 3 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
27	25, 26	sylib 121	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
28	2, 22, 27	mpjaod 708	1 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   0cc0 7732   1c1 7733   < clt 7912   <_ cle 7913   - cmin 8046   2c2 8884   NN0cn0 9090   ZZcz 9167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168

This theorem is referenced by: (None)