Theorem nn0lt2 9454

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	|- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 713	. . 3 |- ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
3		nn0z 9392	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		2z 9400	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
5		zltlem1 9430	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
7		2m1e1 9154	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	7	breq2i 4052	. . . . 5 |- ( N <_ ( 2 - 1 ) <-> N <_ 1 )
9	6, 8	bitrdi 196	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ 1 ) )
10		necom 2460	. . . . 5 |- ( N =/= 1 <-> 1 =/= N )
11		1z 9398	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
12		zltlen 9451	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
13	3, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
14		nn0lt10b 9453	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> N = 0 )
16	15	orcd 735	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
17	16	ex 115	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
18	13, 17	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
19	18	expd 258	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( 1 =/= N -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
20	10, 19	syl7bi 165	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
21	9, 20	sylbid 150	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
22	21	imp 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
23		zdceq 9448	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
24	3, 11, 23	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 1 )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> DECID N = 1 )
26		dcne 2387	. . 3 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
27	25, 26	sylib 122	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
28	2, 22, 27	mpjaod 720	1 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   2c2 9087   NN0cn0 9295   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by: (None)