ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Unicode version

Theorem nn0lt2 9083
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 683 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
3 nn0z 9025 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4 2z 9033 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
5 zltlem1 9062 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
63, 4, 5sylancl 407 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
7 2m1e1 8795 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
87breq2i 3905 . . . . 5  |-  ( N  <_  ( 2  -  1 )  <->  N  <_  1 )
96, 8syl6bb 195 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  1 ) )
10 necom 2367 . . . . 5  |-  ( N  =/=  1  <->  1  =/=  N )
11 1z 9031 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
12 zltlen 9080 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/=  N ) ) )
133, 11, 12sylancl 407 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/= 
N ) ) )
14 nn0lt10b 9082 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
1514biimpa 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  ->  N  =  0 )
1615orcd 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
1716ex 114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1813, 17sylbird 169 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  1  /\  1  =/=  N )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1918expd 256 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  (
1  =/=  N  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2010, 19syl7bi 164 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
219, 20sylbid 149 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2221imp 123 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
23 zdceq 9077 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  1 )
243, 11, 23sylancl 407 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  -> DECID  N  =  1
)
2524adantr 272 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> DECID  N  =  1 )
26 dcne 2294 . . 3  |-  (DECID  N  =  1  <->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
2725, 26sylib 121 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  \/  N  =/=  1
) )
282, 22, 27mpjaod 690 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   2c2 8728   NN0cn0 8928   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator