Theorem nn0lt2 8738

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	|- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 665	. . 3 |- ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
3		nn0z 8680	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		2z 8688	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
5		zltlem1 8717	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 404	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
7		2m1e1 8451	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	7	breq2i 3822	. . . . 5 |- ( N <_ ( 2 - 1 ) <-> N <_ 1 )
9	6, 8	syl6bb 194	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ 1 ) )
10		necom 2335	. . . . 5 |- ( N =/= 1 <-> 1 =/= N )
11		1z 8686	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
12		zltlen 8735	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
13	3, 11, 12	sylancl 404	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
14		nn0lt10b 8737	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )
15	14	biimpa 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> N = 0 )
16	15	orcd 685	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
17	16	ex 113	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
18	13, 17	sylbird 168	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
19	18	expd 254	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( 1 =/= N -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
20	10, 19	syl7bi 163	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
21	9, 20	sylbid 148	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
22	21	imp 122	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
23		zdceq 8732	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
24	3, 11, 23	sylancl 404	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 1 )
25	24	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> DECID N = 1 )
26		dcne 2262	. . 3 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
27	25, 26	sylib 120	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
28	2, 22, 27	mpjaod 671	1 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   0cc0 7271   1c1 7272   < clt 7443   <_ cle 7444   - cmin 7574   2c2 8384   NN0cn0 8583   ZZcz 8660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661

This theorem is referenced by: (None)