ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Unicode version

Theorem nn0lt2 8764
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 665 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
3 nn0z 8706 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4 2z 8714 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
5 zltlem1 8743 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
63, 4, 5sylancl 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
7 2m1e1 8477 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
87breq2i 3830 . . . . 5  |-  ( N  <_  ( 2  -  1 )  <->  N  <_  1 )
96, 8syl6bb 194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  1 ) )
10 necom 2335 . . . . 5  |-  ( N  =/=  1  <->  1  =/=  N )
11 1z 8712 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
12 zltlen 8761 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/=  N ) ) )
133, 11, 12sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/= 
N ) ) )
14 nn0lt10b 8763 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
1514biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  ->  N  =  0 )
1615orcd 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
1716ex 113 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1813, 17sylbird 168 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  1  /\  1  =/=  N )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1918expd 254 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  (
1  =/=  N  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2010, 19syl7bi 163 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
219, 20sylbid 148 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2221imp 122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
23 zdceq 8758 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  1 )
243, 11, 23sylancl 404 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  -> DECID  N  =  1
)
2524adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> DECID  N  =  1 )
26 dcne 2262 . . 3  |-  (DECID  N  =  1  <->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
2725, 26sylib 120 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  \/  N  =/=  1
) )
282, 22, 27mpjaod 671 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   0cc0 7297   1c1 7298    < clt 7469    <_ cle 7470    - cmin 7600   2c2 8410   NN0cn0 8609   ZZcz 8686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-inn 8361  df-2 8419  df-n0 8610  df-z 8687
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator