ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Unicode version

Theorem nn0lt2 8738
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 665 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
3 nn0z 8680 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4 2z 8688 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
5 zltlem1 8717 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
63, 4, 5sylancl 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  ( 2  -  1 ) ) )
7 2m1e1 8451 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
87breq2i 3822 . . . . 5  |-  ( N  <_  ( 2  -  1 )  <->  N  <_  1 )
96, 8syl6bb 194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  <->  N  <_  1 ) )
10 necom 2335 . . . . 5  |-  ( N  =/=  1  <->  1  =/=  N )
11 1z 8686 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
12 zltlen 8735 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/=  N ) ) )
133, 11, 12sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  =/= 
N ) ) )
14 nn0lt10b 8737 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
1514biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  ->  N  =  0 )
1615orcd 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  1 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
1716ex 113 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1813, 17sylbird 168 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  1  /\  1  =/=  N )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
1918expd 254 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  (
1  =/=  N  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2010, 19syl7bi 163 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  1  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
219, 20sylbid 148 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  2  ->  ( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) ) )
2221imp 122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( N  =  0  \/  N  =  1 ) ) )
23 zdceq 8732 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  1 )
243, 11, 23sylancl 404 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  -> DECID  N  =  1
)
2524adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> DECID  N  =  1 )
26 dcne 2262 . . 3  |-  (DECID  N  =  1  <->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
2725, 26sylib 120 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  1  \/  N  =/=  1
) )
282, 22, 27mpjaod 671 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   0cc0 7271   1c1 7272    < clt 7443    <_ cle 7444    - cmin 7574   2c2 8384   NN0cn0 8583   ZZcz 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator