Theorem nn0lt2 9156

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	|- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 701	. . 3 |- ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
3		nn0z 9098	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		2z 9106	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
5		zltlem1 9135	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 410	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
7		2m1e1 8862	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	7	breq2i 3945	. . . . 5 |- ( N <_ ( 2 - 1 ) <-> N <_ 1 )
9	6, 8	syl6bb 195	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ 1 ) )
10		necom 2393	. . . . 5 |- ( N =/= 1 <-> 1 =/= N )
11		1z 9104	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
12		zltlen 9153	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
13	3, 11, 12	sylancl 410	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
14		nn0lt10b 9155	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> N = 0 )
16	15	orcd 723	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
17	16	ex 114	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
18	13, 17	sylbird 169	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
19	18	expd 256	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( 1 =/= N -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
20	10, 19	syl7bi 164	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
21	9, 20	sylbid 149	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
22	21	imp 123	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
23		zdceq 9150	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
24	3, 11, 23	sylancl 410	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 1 )
25	24	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> DECID N = 1 )
26		dcne 2320	. . 3 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
27	25, 26	sylib 121	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
28	2, 22, 27	mpjaod 708	1 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   0cc0 7644   1c1 7645   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   2c2 8795   NN0cn0 9001   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by: (None)