Theorem nn0lt10b 9604

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9453	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		0re 8222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		letri3 8302	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
6		nn0ge0 9469	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7	6	biantrud 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
8		nn0z 9543	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0z 9534	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		zleltp1 9579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
11	9, 10	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12		0p1e1 9299	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	breq2i 4101	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (0 + 1) ↔ 𝑁 < 1)
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
15	8, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
16	5, 7, 15	3bitr2rd 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9605  nn0le2is012  9606  fz1n  10324