Theorem nn0lt10b 9548

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9399	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		0re 8167	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		letri3 8248	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
6		nn0ge0 9415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7	6	biantrud 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
8		nn0z 9487	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0z 9478	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		zleltp1 9523	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
11	9, 10	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12		0p1e1 9245	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	breq2i 4092	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (0 + 1) ↔ 𝑁 < 1)
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
15	8, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
16	5, 7, 15	3bitr2rd 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011  ℝcr 8019  0cc0 8020  1c1 8021   + caddc 8023   < clt 8202   ≤ cle 8203  ℕ₀cn0 9390  ℤcz 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9549  nn0le2is012  9550  fz1n  10267