Theorem nn0lt10b 9423

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		0re 8043	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		letri3 8124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
6		nn0ge0 9291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7	6	biantrud 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
8		nn0z 9363	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		0z 9354	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		zleltp1 9398	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
11	9, 10	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12		0p1e1 9121	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	breq2i 4042	. . . 4 ⊢ (𝑁 < (0 + 1) ↔ 𝑁 < 1)
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
15	8, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
16	5, 7, 15	3bitr2rd 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9424  nn0le2is012  9425  fz1n  10136