ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt10b GIF version

Theorem nn0lt10b 8797
Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt10b (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem nn0lt10b
StepHypRef Expression
1 nn0re 8652 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 0re 7467 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 letri3 7545 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
42, 3mpan2 416 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
51, 4syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
6 nn0ge0 8668 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
76biantrud 298 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
8 nn0z 8740 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 0z 8731 . . . . 5 0 ∈ ℤ
10 zleltp1 8775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
119, 10mpan2 416 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < (0 + 1)))
12 0p1e1 8507 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1312breq2i 3845 . . . 4 (𝑁 < (0 + 1) ↔ 𝑁 < 1)
1411, 13syl6bb 194 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
158, 14syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 < 1))
165, 7, 153bitr2rd 215 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  0cn0 8643  cz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  nn0lt2  8798  fz1n  9427
  Copyright terms: Public domain W3C validator