Theorem nneo 9731

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9294	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		peano2cn 8454	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9359	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
5		2ap0 9379	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 9115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 9115	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 6093	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		nnz 9645	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12		nnz 9645	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		zneo 9729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N / 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
15	14	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
16	15	necon2bd 2478	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
17	10, 16	syl5com 29	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18		nneoor 9730	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19	18	orcomd 741	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
20	19	ord 736	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
21	17, 20	impbid 129	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   CCcc 8170   0cc0 8172   1c1 8173   + caddc 8175   x. cmul 8177   # cap 8902   / cdiv 8995   NNcn 9286   2c2 9337   ZZcz 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-n0 9546  df-z 9627

This theorem is referenced by:  nneoi  9732