Theorem nneo 9550

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9118	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		peano2cn 8281	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9183	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
5		2ap0 9203	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 8939	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 8939	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 6016	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		nnz 9465	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12		nnz 9465	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		zneo 9548	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N / 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
15	14	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
16	15	necon2bd 2458	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
17	10, 16	syl5com 29	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18		nneoor 9549	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19	18	orcomd 734	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
20	19	ord 729	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
21	17, 20	impbid 129	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  nneoi  9551