Theorem nneo 9684

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9247	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		peano2cn 8410	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9312	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
5		2ap0 9332	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 9068	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 9068	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 6067	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		nnz 9598	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12		nnz 9598	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		zneo 9682	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N / 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
15	14	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
16	15	necon2bd 2472	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
17	10, 16	syl5com 29	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18		nneoor 9683	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19	18	orcomd 737	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
20	19	ord 732	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
21	17, 20	impbid 129	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8127   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   # cap 8857   / cdiv 8948   NNcn 9239   2c2 9290   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580

This theorem is referenced by:  nneoi  9685