Theorem nneo 8849

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8430	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		peano2cn 7617	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 8495	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
5		2ap0 8515	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 8259	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 8259	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 5667	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2123	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		nnz 8769	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12		nnz 8769	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		zneo 8847	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
14	11, 12, 13	syl2an 283	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N / 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
15	14	expcom 114	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
16	15	necon2bd 2313	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
17	10, 16	syl5com 29	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18		nneoor 8848	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19	18	orcomd 683	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
20	19	ord 678	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. NN ) )
21	17, 20	impbid 127	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   x. cmul 7355   # cap 8058   / cdiv 8139   NNcn 8422   2c2 8473   ZZcz 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751

This theorem is referenced by:  nneoi  8850